Kada koristite Heronovu formulu za pronalaženje područja?

Možete ga koristiti kad god znate duljine sve tri strane trokuta.

Nadam se da je to bilo od pomoći.

Odgovor:

Heron's Formula je gotovo uvijek pogrešna formula koju treba koristiti; pokušajte Arhimedov teorem za trokut s područjem # S # i strane # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # gdje # s = 1/2 (a + b + c) #

Ovo posljednje je tanko prikrivena čaplja.

Obrazloženje:

Heroj iz Aleksandrije napisao je u prvom stoljeću poslije Krista. Zašto nastavljamo mučiti učenike s njegovim rezultatom kada ima mnogo ljepših modernih ekvivalenata, nemam pojma.

Heronova formula za to područje # S # trokuta sa stranama # A, b, c # je

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # gdje # s = 1/2 (a + b + c) # je poluproizvod.

Nema sumnje da je ova formula strašna. Ali to je neugodno koristiti zbog frakcije i, ako počnemo od koordinata, četiri kvadratna korijena.

Napravimo matematiku. Skrećemo i eliminiramo # S # koji uglavnom služi za skrivanje #16# i važnu faktorizaciju. Možda ćete prvo pokušati sami.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (+ b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je već mnogo bolje od Heronovog oblika. Spašavamo frakciju do kraja i više se ne pitamo o značenju semiperimetra.

Izopačeni slučaj govori. Kada je jedan od tih faktora sa znakom minus nula, tada se dvije strane zbrajaju točno s druge strane. To su udaljenosti između tri kolinearne točke, degeneriranog trokuta, i dobivamo nultu površinu. Ima smisla.

# A + b + c # faktor je zanimljiv. Ono što nam govori da ova formula i dalje djeluje ako koristimo pomake, označene duljine, umjesto svih pozitivnih.

Formula je još uvijek nezgodna za korištenje danih koordinata. Pomnožimo ga; možda ćete ga htjeti isprobati sami;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc-ac + bc-c ^ 2) *

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Taj oblik ovisi samo o kvadratima duljina. Jasno je potpuno simetrično. Sada možemo ići dalje od Herona i reći ako kvadratne dužine su racionalni, kao i kvadrat.

Ali možemo učiniti bolje ako zapazimo

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

oduzimanjem,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je najljepši oblik.

Postoji oblik asimetričnog izgleda koji je obično najkorisniji. Napominjemo

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Dodavanje u

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

To je najkorisniji oblik. Postoje tri načina da se to napiše, mijenjajući strane.

Kolektivno se to naziva Arhimedova teorema, iz Racionalne trigonometrije NJ Wildberger.

Kada dobijete 2D koordinate, često je formula Shoelace najbrži put do tog područja, ali to ću uštedjeti za druge postove.