Pitanje br

Odgovor:

Normalna linija: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #, Tangenta: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Obrazloženje:

Za intuiciju: Zamislite da je funkcija #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # opisuje visinu nekog terena, gdje #x# i # Y # su koordinate u ravnini i #ln (y) # pretpostavlja se da je prirodni logaritam. Onda sve # (X, y) # tako da #F (x, y) = a # (visina) jednaka je nekoj konstanti # S # nazivaju se krivulje razine. U našem slučaju konstantna visina # S # je nula, od #F (x, y) = 0 #.

Možda ste upoznati s topografskim kartama u kojima zatvorene linije označavaju linije jednake visine.

Sada gradijent #grad f (x, y) = ((djelomicno f) / (djelomicno x), (djelomicno f) / (djelomicno x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # daje nam smjer u točki # (X, y) # u kojem #F (x, y) # najbrže se mijenja (visina). To je ili ravno gore ili ravno niz brdo, sve dok je naš teren glatka (diferencijalna), a mi nismo na vrhu, u dnu ili na visoravni (ekstremna točka). To je u stvari normalni smjer prema krivulji konstantne visine, kao da je na # (X, y) = (2, e ^ 2) *:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Dakle, normalna linija u tom smjeru prolazi # (2, e ^ 2) * može se opisati kao

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, gdje #s u mathbbR # je stvarni parametar. Možete eliminirati # S # izraziti # Y # kao funkcija #x# ako želite, pronaći

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Izvedba smjera u smjeru tangente mora biti #0# (što znači da se visina ne mijenja), pa tangentni vektor # (U, v) * mora zadovoljiti

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, gdje # Cdot # znači točkasti proizvod. Tako # (u, v) = (1, e ^ 2) # je jedan ispravan izbor. Dakle, tangenta prolazi kroz # (2, e ^ 2) * može se opisati kao

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Rješavanje za # Y # daje to

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Trebali bi to provjeriti # (2, e ^ 2) * leži na krivulji #F (x, y) #, na tangentnoj liniji i na normalnoj liniji.