Što je antiderivative od 1 / sinx?

Odgovor:

to je # -ln abs (cscx + cot x) #

Obrazloženje:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

Numerator je suprotan ('negativan') derivat denomoinatora.

Dakle, antiderivativno je minus prirodni logaritam nazivnika.

# -ln abs (cscx + cot x) #.

(Ako ste naučili tehniku zamjene, možemo je koristiti #u = cscx + cot x #, Dakle #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #, Izraz postaje # -1 / u du #.)

Ovaj odgovor možete potvrditi razlikovanjem.

Drugačiji pristup

# Int1 / sinxdx # #=#

# Intsinx / grijeh ^ 2xdx #

# Intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Zamjena

# Cosx = u #

# -Sinxdx = du #

# Sinxdx = -du #

#=# # -Int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (1-u) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) *

Trebamo #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B-1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B-0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Stoga, # -Int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

# -Int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (1 + u) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1)) / (u + 1) - ((1-u)) / (1-u)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + C '#, # (C, C ') ##u## RR #

Što je antiderivative od (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odgovor je x + arctan (x) Prvo primijetite da: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) može biti zapisano kao (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = int [1] dx + int [1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = Izvod arktana (x) je 1 / (1 + x ^ 2). To znači da je antiderivativ od 1 / (1 + x ^ 2) arctan (x) I na toj osnovi možemo pisati: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) Dakle, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c Tako antiderivativni od

Dokazati (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?

Pogledaj ispod. Korištenje de Moivreovog identiteta koji navodi e ^ (ix) = cos x + i sin x imamo (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+ e ^ (- ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) NAPOMENA e ^ (ix) (1 + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (1+ cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx ili 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)

Kako ste pronašli antiderivative od e ^ (sinx) * cosx?

Upotrijebite u-supstituciju kako biste pronašli inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Primijetite da je derivat sinxa cosx, a budući da se pojavljuju u istom integralu, taj se problem rješava u-supstitucijom. Neka je u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ sinx * cosxdx postaje: inte ^ udu Ovaj integral procjenjuje se na e ^ u + C (jer je derivat e ^ u e ^ u). Ali u = sinx, dakle: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C