Koja je duljina luka (t-3, t + 4) na t u [2,4]?

Odgovor:

# A = 2sqrt2 #

Obrazloženje:

Formula za dužinu parametarskog luka je:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2)

Počinjemo s pronalaženjem dva derivata:

# Dx / dt = 1 # i # Dy / dt = 1 #

To daje duljinu luka:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

U stvari, budući da je parametarska funkcija tako jednostavna (to je pravac), ne treba nam čak ni integralna formula. Ako iscrtamo funkciju u grafu, možemo koristiti samo formulu za pravilnu udaljenost:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 x 2) = 2sqrt2 #

To nam daje isti rezultat kao i integral, pokazujući da obje metode rade, iako bih u ovom slučaju preporučio grafičku metodu jer je jednostavnija.