Dokazati: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Dokazati # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

pustiti # cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Sada # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Pokazati

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Ponekad je trigonometrija manje u matematici i više u prepoznavanju matematike kada je vidimo. Ovdje prepoznajemo # 4x ^ 3 -3x # kao kosinusna trostruka formula, # cos (3 theta) # kada # x = cos.

factoid: # 4x ^ 3-3x # također se naziva # T_3 (x) *, treći Chebyshev polinom prve vrste. Općenito, # cos (nx) = T_n (cos x).

Pretpostavit ćemo # Arccos # odnosi se na glavnicu. Radije bih nazvao ravnatelja #text {Arc} text {cos} # ali to je teže unijeti.

Dosta pozadine. Jednom kad prepoznamo trostruki kut, dokaz je jednostavan.

Dokaz:

pustiti #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #