Što je abelova skupina, iz perspektive linearne / apstraktne algebre?

Što je abelova skupina, iz perspektive linearne / apstraktne algebre?
Anonim

Odgovor:

Abelova grupa je skupina s dodatnim svojstvom grupne operacije koja je komutativna.

Obrazloženje:

skupina # <G, •> # je skup # G # zajedno s binarnom operacijom # •: GxxG-> G # koji ispunjavaju sljedeće uvjete:

  1. # G # je zatvoreno pod, ispod #•#.

    Za bilo koji # A, Bing #, imamo # a • b u G #

  2. #•# je asocijacioni.

    Za bilo koji # A, b, cing #, imamo # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

  3. # G # sadrži element identiteta

    Postoji # EinG # takva da za sve # AinG #, # A • e = e • A = A #

  4. Svaki element od # G # ima inverzan u # G #

    Za sve # AinG # postoji #A ^ (- 1) Ing # tako da # A • a ^ (- 1) = a ^ (- 1), • a = e #

Za grupu se kaže da jest abelovski ako također posjeduje tu imovinu #•# je komutativan, to jest, za sve # A, Bing #, imamo # a • b = b • a #.

Grupa # <ZZ, +> # (cijeli brojevi uz standardni dodatak) je abelova skupina, jer ispunjava svih pet gore navedenih uvjeta.

Grupa # GL_2 (RR) # (skup obrnutog # 2 "x" 2 # matrice s realnim elementima zajedno s matričnim umnožavanjem) nebelejski, jer dok ispunjava prva četiri uvjeta, umnožavanje matrice između invertibilnih matrica nije nužno komutativno. Na primjer:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ali

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#