Trokut ima vrhove A (a, b), C (c, d) i O (0, 0). Koja je jednadžba i područje opisane kružnice trokuta?

Odgovor:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # gdje

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Obrazloženje:

Općenito sam postavio pitanje; da vidimo kako to ide. Ostavio sam jedan vrh na početku, što ga čini malo manje neurednim, a proizvoljni trokut se lako prevodi.

Naravno, trokut je potpuno nevažan za ovaj problem. Opisana kružnica je krug kroz tri točke, koje su tri točke. Trokut čini iznenađujuće pojavljivanje u rješenju.

Neka terminologija: opisna kružnica se naziva trokut circumcircle i središte trokuta kružnice.

Opća jednadžba za krug sa središtem # (P, q) # i kvadratnog radijusa # S # je

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

i područje kruga je #A = pi s. #

Imamo tri nepoznanice # P, q, s # i znamo tri točke, pa dobivamo tri jednadžbe:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # jer je porijeklo u krugu.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Rješavamo simultane jednadžbe. Pretvorimo ih u dvije linearne jednadžbe širenjem i oduzimanjem parova, što znači gubitak # P ^ 2 + q ^ 2 # lijevo i # S # na desno.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

oduzimanjem, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Slično tome, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

To su dvije jednadžbe u dvije nepoznanice. # AX = K # ima rješenje # X = A ^ {- 1} K. # Sjećam se dva inverzna matrica koja ne znam kako formatirati, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Za nas to znači

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

i kvadratni radijus

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (oglas-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

tako područje # Pi # taj iznos.

Vidimo da izraz postaje simetričniji ako uzmemo u obzir što se događa za proizvoljni trokut #(A B C D E F).# Postavili smo # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ali sada to neću riješiti.

Primijetit ću brojnik # S # je proizvod triju kvadrata strana trokuta i nazivnika # S # je šesnaest puta kvadratni dio trokuta.

U Rational Trigonometry pozvani su kvadrati duljine quadrances i šesnaest puta kvadratno područje naziva se quadrea. Otkrili smo da je kvadrat polumjera kružnice produkt kvadranata trokuta podijeljenih njegovim kvadrea.

Ako trebamo samo radijus ili područje kružnice, ovdje možemo sažeti rezultat kao:

Kvadratni radijus kružnice je rezultat kvadrata duljine trokuta podijeljenog s šesnaest puta kvadratnog kvadrata.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #