Tri štapa svaki od mase M i duljine L spojeni su zajedno kako bi tvorili jednakostraničan trokut. Koji je trenutak inercije sustava oko osi koja prolazi kroz njegovo središte mase i okomito na ravninu trokuta?

Odgovor:

# 1/2 ML ^ 2 #

Obrazloženje:

Trenutak inercije jednog štapa oko osi koja prolazi kroz njegovo središte i okomit na nju je

# 1/12 ML ^ 2 #

Na svakoj strani jednakostraničnog trokuta oko osi koja prolazi kroz središte trokuta i okomito na njegovu ravninu

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(pomoću teorema o paralelnoj osi).

Tada je trenutak inercije trokuta oko te osi

# 3 puta 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Uz pretpostavku da su štapovi tanki, položaj središta mase svakog štapa je u središtu štapa. Kako štapovi tvore jednakostraničan trokut, središte mase sustava bit će na središtu trokuta.

pustiti # D # biti udaljenost centroida od bilo koje strane.

# D / (L / 2) = tan30 #

# => D = l / 2tan30 #

# => D = l / (2sqrt3) # …..(1)

Trenutak inercije jednog štapa oko osi koja prolazi kroz središte okomito na ravninu trokuta pomoću paralelne osi terora je

#I_ "štap" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Postoje tri slično postavljene šipke, tako da bi ukupni moment inercije triju šipki bio

#I_ "sustav" = 3 (I_ "cm" + MD ^ 2) *

# => I_ "sustav" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Drugi pojam pomoću (1) jest

# 3Md ^ 2-3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Kao trenutak inercije jednog štapa oko njegovog središta mase je

#I_ "cm" = 1/12 ml ^ 2 #

Prvi pojam u (2) postaje

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12 ml ^ 2 = 1/4 ml ^ 2 # ….(4)

Pomoću (3) i (4) postaje jednadžba (2)

#I_ "sustav" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2