Koji je raspon kvadratne funkcije?

Odgovor:

Raspon #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # je:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "ako" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "ako" a <0):} #

Obrazloženje:

S obzirom na kvadratnu funkciju:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # s #a! = 0 #

Možemo dovršiti kvadrat kako bismo pronašli:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Za stvarne vrijednosti #x# kvadratni izraz # (X + b / (2a)) ^ 2 # je negativan, uzimajući svoju minimalnu vrijednost #0# kada #x = -b / (2a) #.

Zatim:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Ako #a> 0 # tada je to najmanja moguća vrijednost od #F (x) * i raspon #F (x) * je # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Ako #a <0 # tada je to maksimalna moguća vrijednost #F (x) * i raspon #F (x) * je # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Drugi način gledanja na to je pustiti #y = f (x) # i provjerite postoji li rješenje #x# u smislu # Y #.

S obzirom na:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Oduzeti # Y # s obje strane pronaći:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

Diskriminant #Delta# ove kvadratne jednadžbe je:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Da bismo imali stvarna rješenja, zahtijevamo #Delta> = 0 # i tako:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Dodati # 4ac-b ^ 2 # objema stranama pronaći:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

Ako #a> 0 # onda možemo jednostavno razdvojiti obje strane # 4a # dobiti:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Ako #a <0 # onda možemo podijeliti obje strane do # 4a # i preokrenuti nejednakost da bi dobili:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #