R_ ("th") izraz geometrijske serije je (2r + 1) cdot 2 ^ r. Zbroj prvih n termina serije je što?

Odgovor:

# (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Obrazloženje:

#S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + sum_ {r = 0} ^ n 2 ^ r #

# S = sum_ {r = 1} ^ n r * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) #

# S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1 - 2) + … + a_ {0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^4#

#+ 1 * 2^3 + 1 * 2^4#

#+ 1 * 2^4#

#S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 #

#S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 #

Potvrdimo

#S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots #

#S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots #

#S (0) = 1 = -2 + 3 #

#S (1) = 7 = 2 * 2 + 3 #

#S (2) = 27 = 6 * 2 ^ 2 + 3 #

I #S (3) = 83 = 10 * 2 ^ 3 + 3 #

Odgovor:

# (4n-2) 2 ^ n + 2 ili, (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #

Obrazloženje:

pustiti #S n# označava zbroj prve # # N uvjetima sekvenca

# (2r + 1) 2 ^ r #.

Zatim, # S_n = sum_ (r = 1) ^ (r = n) (2r + 1) 2 ^ r #,

#:. S_n = 3 * 2 ^ 1 + 5 x 2 ^ 2 + … + (2n-1) * 2 ^ (n-1) + (2n + 1) + 2 ^ n #.

množenjem po #2#, dobivamo, # 2S_n = 3 * 2 ^ 2 * 5 + 2 ^ 3 + … + (2n-1) * 2 ^ n + (2n + 1) + 2 ^ (n + 1) #.

#:. 2S_n-S_n = (3-5) 2 ^ 2 + (5-7) 2 ^ 3 + … + {(2n-1) - (2n + 1)} 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n + 1) boja (crvena) (- 3 x 2 ^ 1) #.

#:. S_n = boja (crvena) (- 2 ^ 2 x 1) -2 * 2 * ^ 2-2 3-2 2 ^ * 2 ^ n + (2n + 1) 2 ^ (n + 1) boja (crvena) (- 1 * 2 ^ 1), #

# = - 2 2 ^ 2 ^ 1 + 2 + 2 + 2 ^ 2 ^ 3 + … + 2 ^ n + (2n + 1) u boji (plava), (2 ^ (n + 1)) - 2 #,

# = - 2 {2 (2 ^ n-1)} / (2-1) + (2n + 1) u boji (plava), (2 ^ n * 2) -2 #, # = - 4 x 2 ^ n + 4 + (4n + 2) 2 ^ n-2 #.

# = 2 ^ n {-4+ (4n + 2) +} 4-2 #.

# rArr S_n = (4n-2) 2 ^ n + 2, ili, S_n = (2n-1) 2 ^ (n + 1) + 2 #

Prvi i drugi izraz geometrijskog slijeda su prvi i treći izraz linearnog niza. Četvrti pojam linearne sekvence je 10, a zbroj prvih pet pojmova je 60. Nađite prvih pet termina linearne sekvence?

{16, 14, 12, 10, 8} Tipičan geometrijski slijed može se predstaviti kao c_0a, c_0a ^ 2, cdot, c_0a ^ k i tipična aritmetička sekvenca kao c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Pozivanje c_0 a kao prvog elementa za geometrijski slijed koji imamo {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Prvi i drugi od GS su prvi i treći LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Četvrti pojam linearne sekvence je 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "Zbroj prvih pet termina je 60"):} Rješavanje za c_0, a, Delta dobivamo c_0 = 64/3 , a = 3/4, Delta = -2 i prvih pet elemenata za aritmetički slijed su {16, 14, 12,

Drugi i peti pojam geometrijske serije su 750 i -6. Pronaći zajednički omjer serije i prvog termina?

R = -1 / 5, a_1 = -3750 Boja (plava) "n-ti pojam geometrijskog slijeda" je. boja (crvena) (bar (ul (| (boja (bijela) (2/2) boja (crna) (a_n = ar ^ (n-1)) boja (bijela) (2/2) |))) gdje je a prvi pojam i r, zajednički omjer. rArr "drugi pojam" = ar ^ 1 = 750 do (1) rArr "peti pojam" = ar ^ 4 = -6 do (2) Da bismo pronašli r, podijelimo (2) s (1) rArr (poništi (a) r ^ 4 ) / (poništi (a) r) = (- 6) / 750 rArrr ^ 3 = -1 / 125rArrr = -1 / 5 Zamijenite ovu vrijednost u (1) kako biste pronašli rArraxx-1/5 = 750 rArra = 750 / (-1/5) = - 3750

Poznavanje formule za zbroj N cijelih brojeva a) što je zbroj prvih N uzastopnih kvadratnih brojeva, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1) ) ^ 2 + N ^ 2? b) Zbroj prvih N uzastopnih prirodnih brojeva kocke Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Za S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n) ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Imamo sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 rješavanje za sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3/3 (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni, ali sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 tako sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n) +1) ^ 3 / 3- (n +