Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x / (x ^ 2 + 25) na intervalu [0,9]?

Odgovor:

apsolutni maksimum: #(5, 1/10)#

apsolutni minimum: #(0, 0)#

Obrazloženje:

S obzirom na: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "na intervalu" 0, 9 #

Apsolutni ekstremi mogu se pronaći procjenom krajnjih točaka i pronalaženjem relativnih maksimuma ili minimuma i uspoređivanjem njihovih # Y #-vrijednosti.

Procijenite krajnje točke:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9,.085) #

Pronađite bilo koji relativni minimum ili maksimum postavljanjem #f '(x) = 0 #.

Koristite pravilo kvocijenta: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

pustiti #u = x; "u" = 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Od # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, potrebno je samo postaviti brojnik = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritične vrijednosti: # x = + - 5 #

Budući da je naš interval #0, 9#, samo trebamo pogledati #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Koristeći prvi derivativni test, postavite intervale kako biste saznali je li ta točka relativni maksimum ili relativni minimum:

intervali: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

testne vrijednosti: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

To znači na #F (5) * imamo relativni maksimum, To postaje apsolutni maksimum u intervalu #0, 9#, od # Y #-vrijednost točke #(5, 1/10) = (5, 0.1)# je najviša # Y #-vrijednost u intervalu.

** Apsolutni minimum se javlja na najnižoj razini # Y #-vrijednost na krajnjoj točki #(0,0)**.#

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = sin (x) - cos (x) na intervalu [-pi, pi]?

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = sin (x) + ln (x) na intervalu (0, 9)?

Nema maksimuma. Minimum je 0. Nema maksimuma Kao xrarr0, sinxrarr0 i lnxrarr-oo, tako lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo Dakle nema maksimuma. Nema minimuma Neka je g (x) = sinx + lnx i imajte na umu da je g kontinuirano na [a, b] za bilo koji pozitivni a i b. g (1) = sin1> 0 "" i "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0. g je kontinuirano na [e ^ -2,1] koji je podskup od Prema teoremu srednje vrijednosti, g ima nulu u [e ^ -2,1] koja je podskup od (0,9), a isti broj je nula za f (x) = abs (0,9). sinx + lnx) (koji mora biti ne-negativan za sve x u domeni.)

Koji su apsolutni ekstremi f (x) = x ^ (2) + 2 / x na intervalu [1,4]?

Potrebno je pronaći kritične vrijednosti f (x) u intervalu [1,4]. Stoga izračunavamo korijene prvog derivata tako da imamo (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 So f ( 2) = 5 Također nalazimo vrijednosti f na krajnjim točkama, dakle f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 Najveća vrijednost funkcije je na x = 4, dakle f (4) ) = 16.5 je apsolutni maksimum za f u [1,4] Najmanja vrijednost funkcije je x = 1, dakle f (1) = 3 je apsolutni minimum za f u [1,4] Graf f u [1] , 4] je