Koji su apsolutni ekstremi f (x) = sin (x) + ln (x) na intervalu (0, 9)?

Odgovor:

Nema maksimuma. Minimum je #0#.

Obrazloženje:

Nema maksimuma

Kao # Xrarr0 #, # Sinxrarr0 # i # Lnxrarr-oo #, Dakle

#lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo #

Dakle, nema maksimuma.

Nema minimuma

pustiti #g (x) = sinx + lnx # i zapamtite to # G # je kontinuirano # A, b # za bilo koji pozitivan # S # i # B #.

#g (1) = sin1> 0 # #' '# i #' '# #g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0 #.

# G # je kontinuirano # E ^ -2,1 # koji je podskup od #(0,9#.

Prema teoremu srednje vrijednosti, # G # ima nulu # E ^ -2,1 # koji je podskup od #(0,9#.

Isti broj je nula za #f (x) = abs (sinx + lnx) # (koji mora biti ne-negativan za sve #x# u domeni.)

Prosječna vrijednost funkcije v (x) = 4 / x2 na intervalu [[1, c] jednaka je 1. Koja je vrijednost c?

C = 4 Prosječna vrijednost: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Dakle, prosječna vrijednost je (-4 / c + 4) / (c-1) Rješavanje (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 daje nam c = 4.

Funkcija f (x) = tan (3 ^ x) ima jednu nulu u intervalu [0, 1.4]. Što je derivat u ovom trenutku?

Pi ln3 Ako je tan (3 ^ x) = 0, onda je sin (3 ^ x) = 0 i cos (3 ^ x) = + -1 Stoga 3 ^ x = kpi za neki cijeli broj k. Rečeno nam je da postoji jedna nula na [0,1,4]. Ta nula NIJE x = 0 (budući da tan 1! = 0). Najmanje pozitivno rješenje mora imati 3 ^ x = pi. Dakle, x = log_3 pi. Pogledajmo sada derivat. f '(x) = sec ^ 2 (3 ^ x) * 3 ^ x ln3 Odozgo znamo da 3 ^ x = pi, tako da u tom trenutku f' = sec ^ 2 (pi) * pi ln3 = (- 1 ) ^ 2 pi ln3 = pi ln3

Upotrijebite teorem srednje vrijednosti kako biste pokazali da postoji korijen jednadžbe x ^ 5-2x ^ 4-x-3 = 0 u intervalu (2,3)?

U nastavku potražite dokaz. Ako je f (x) = x ^ 5-2x ^ 4-x-3 onda boja (bijela) ("XXX") f (boja (plava) 2) = boja (plava) 2 ^ 5-2 * boja (plava) 2 ^ 4-boja (plava) 2-3 = boja (crvena) (- 5) i boja (bijela) ("XXX") f (boja (plava) 3) = boja (plava) 3 ^ 5-2 * boja (plava) 3 ^ 4-boja (plava) 3-3 = 243-162-3-3 = boja (crvena) (+ 75) Budući da je f (x) standardna polinomna funkcija, ona je kontinuirana. Stoga, na temelju teorema o srednjoj vrijednosti, za bilo koju vrijednost, boju (magenta) k, između boje (crvena) (- 5) i boje (crvena) (+ 75), postoji boja (lajm) (hatx) između boja (plava) 2 i boja (plava) 3