Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((piks) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) novo pitanje ?

#A) #

Samo trebate uzeti #Psi ^ "*" Psi #.

#color (plava) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((piks) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((piks) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = boja (plava) (1 / L sin ^ 2 ((piks) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Razdoblje se može naći uz minimalan napor, jednostavno najprije znajući energije, koje su konstante gibanja.

Energija # phi_1 = sqrt (1 / L) grijeh ((pix) / L) # je # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #i energiju # Phi_2 # je # 4E_1 #, Stoga, frekvencija # Omega_2 # od # Phi_2 # je četiri puta više od # Phi_1 # (# Omega_1 #).

Kao rezultat toga, razdoblje # T_1 = (2pi) / (omega_1) # od # Phi_1 # je četiri puta više od # Phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, a također je razdoblje od # Phi_2 #.

Razdoblje je stoga # boja (plava) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Pustit ću vas da ovo uključite u sebe #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #, Ne morate ništa učiniti s njom …

Mi to znamo #T = (2pi) / (omega_1) #, i to # (iEt) / io = iomegat #, Dakle

#E_n = omega_nℏ #.

Kao rezultat, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

i

# boja (plava) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = boja (plava) (1 / (12ℏ)) #

# d,) #

Vjerojatnost pronalaženja čestice u # 0, L / 2 # daje se kao

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((piks) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2 piksela) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((piks) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Prva dva pojma su simetrična s pola amplitude i prinosa #50%# u ukupnom poretku.

Treći bi izraz imao vjerojatnost stacionarnog stanja # 4 / (3pi) #, i # cos # je proizvoljni faktor faze. Dakle, ukupna vjerojatnost jest

# = boja (plava) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (plava) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi |

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 (piks) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Ne postoji trivijalno rješenje za ovo … Ispada da je:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = boja (plava) ((((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi-8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#F) #

Na #x = L / 2 #, #grijeh# uvjete #sin (pi / 2) = 1 # i za #sin (pi) = 0 #, respektivno.

Od #sin (pi) = 0 #, dio ovisan o vremenu #Psi ^ "*" Psi # nestaje i vremenski neovisan dio zadržava # 1 / L # kao gustoća vjerojatnosti.