Odgovor:
Ispod
Obrazloženje:
Da biste pokazali da je nejednakost istinita, koristite matematičku indukciju
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # za #n> 1 #
Korak 1: Dokazati istinito za # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Od # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, onda #LHS> RHS #, Stoga je to istina # N = 2 #
Korak 2: Pretpostavite istinito za # N = k # gdje je k cijeli broj i #k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
Korak 3: Kada # N = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
odnosno # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) *
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) * iz (1) pretpostavkom
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Od #K> 1 #, onda # -1 / sqrt (k + 1) <0 # i od # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, onda # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # tako # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = '0 #
= LHS
Korak 4: Dokazom matematičke indukcije ova nejednakost vrijedi za sve cjeline # # N veći od #1#
Navedena nejednakost je netočna.
Npr #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (cca 2,3) poništi (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (oko 2,8) #
Kontradikcija.
