Ako je moguće, pronađite funkciju f takvu da grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Odgovor:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Obrazloženje:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Sada uzmi" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Onda imamo jedan i isti f, koji zadovoljava uvjete."

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Odgovor:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Obrazloženje:

Imamo slabu notaciju u pitanju jer je operator del (ili operator gradijenta) vektorski diferencijalni operator, Tražimo funkciju #F (x, y) # tako da:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Gdje #BB (grad) # je operator gradijenta:

# "grad" f = bb (grad) f = (djelomicno f) / (djelomicno x) bb (ul hat i) + (djelomicno f) / (djelomicno x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Od kojih zahtijevamo:

# f_x = (djelomicno f) / (djelomicno x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t t ….. A

# f_y = (djelomicno f) / (djelomicno y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Ako integriramo A wrt #x#, dok liječimo # Y # kao konstanta dobivamo:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Ako integriramo B wrt # Y #, dok liječimo #x# kao konstanta dobivamo:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Gdje #U (y) # je proizvoljna funkcija # Y # sam i #v (x) * je proizvoljna funkcija #x# sama.

Očito je da te funkcije moraju biti identične, tako da imamo:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

I tako biramo #v (x) = x ^ 4 # i #U (y) = y ^ 6 #, što nam daje rješenje:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Rješenje možemo lako potvrditi izračunavanjem djelomičnih derivata:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED