Pokažite da 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... do beskonačnosti = 3 ^ (3/4) .kako?

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Mi to znamo #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

i to za #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oox ^ k = 1 / (1-x) -1 i # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # zatim

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # i za #x = 1/3 # imamo

#S = 3/4 # onda konačno

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Andrew tvrdi da drveni štand u obliku pravokutnog trokuta od 45 ° - 45 ° - 90 ° ima duljine stranica od 5 inča, 5 in. I 8 in. Je li točno? Ako je tako, pokažite posao i ako ne, pokažite zašto ne.

Andrew je u krivu. Ako se radi o pravom trokutu, tada možemo primijeniti Pitagorin teorem, koji kaže da je ^ 2 + b ^ 2 = h ^ 2 gdje je h hipotenuza trokuta, a a b druge dvije strane. Andrew tvrdi da je a = b = 5in. i h = 8in. 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 25 + 25 = 50 8 ^ 2 = 64! = 50 Stoga su mjere trokuta koje je dao Andrew pogrešne.

Kako ste pronašli granicu xtan (1 / (x-1)) kako se x približava beskonačnosti?

Granica je 1. Nadam se da netko ovdje može ispuniti praznine u mom odgovoru. Jedini način na koji to mogu riješiti je da proširi tangent pomoću Laurentove serije na x = oo. Nažalost, još nisam učinio mnogo složene analize pa ne mogu proći kroz to kako se to radi, ali koristeći Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=laurent+series+tan (1% 2F ( x-1)) Dobio sam da je tan (1 / (x-1)) proširen na x = oo jednak: 1 / x + 1 / x ^ 2 + 4 / (3x ^ 3) + 2 / (x ^ 4) + 47 / (15x ^ 5) + O (((1) / (x)) ^ 6) Množenje s x daje: 1 + 1 / x + 4 / (3x ^ 2) + 2 / (x ^ 3) + ... Dakle, jer svi pojmovi osim prvog imaju x na nazivniku i k

Kako ste pronašli granicu (ln x) ^ (1 / x) kako se x približava beskonačnosti?

Lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 Počinjemo s prilično čestim trikom kada se bavimo varijabilnim eksponentima. Možemo uzeti prirodni dnevnik nečega i onda ga podići kao eksponent eksponencijalne funkcije bez promjene njegove vrijednosti jer su to inverzne operacije - ali nam omogućuje da koristimo pravila dnevnika na koristan način. lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) Koristeći eksponentno pravilo logova: = lim_ (xrarroo) ) exp (1 / xln (ln (x))) Primijetite da je eksponent koji se mijenja kao xrarroo tako da se možemo fokusirati na njega i pomaknuti eksponencijalnu funkciju