Zbroj kvadrata od tri cijela broja je 324. Kako pronalazite cijele brojeve?

Odgovor:

Jedino rješenje s različitim pozitivnim integers je #(2, 8, 16)#

Cijeli skup rješenja je:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Obrazloženje:

Možemo uštedjeti malo truda uzimajući u obzir što oblik kvadrata uzima.

Ako # # N onda je neparan cijeli broj #n = 2k + 1 # za neki cijeli broj # K # i:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Primijetite da je to neparan cijeli broj obrasca # 4p + 1 #.

Dakle, ako dodate kvadrate s dva neparna broja, uvijek ćete dobiti cijeli broj obrasca # 4k + 2 # za neki cijeli broj # K #.

Zapamtite to #324 = 4*81# je forme # 4k #, ne # 4k + 2 #.

Stoga možemo zaključiti da sva tri broja moraju biti jednaka.

Postoji konačan broj rješenja u cijelim brojevima # n ^ 2> = 0 # za bilo koji cijeli broj # # N.

Razmotrite rješenja u ne-negativnim cijelim brojevima. Možemo dodati varijante koje uključuju negativne cijele brojeve na kraju.

Pretpostavimo da je najveći cijeli broj # # N, onda:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Tako:

# 12 <= n <= 18 #

To rezultira mogućim zbrojem kvadrata drugih dvaju prirodnih brojeva:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Za svaku od tih vrijednosti # K #, pretpostavimo da je najveći preostali cijeli broj # M #, Zatim:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

i mi to zahtijevamo # K-m ^ 2 # biti savršen trg.

Stoga pronalazimo rješenja:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Dakle, jedino rješenje s različitim pozitivnim integers je #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Lako je to pokazati # x, y # i # Z # mora biti čak i zato što čini # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # i # Z = 2m_z # imamo

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # ili

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # što je apsurdno.

Tako ćemo od sada razmotriti

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Sada razmatramo identitet

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

s # L, m, n # proizvoljni pozitivni brojevi i izrada

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

imamo

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # ili rješavanje za # # N

#n = 1/2 (21 sat siječanj (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

tako da nam je potrebna izvedivost

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # ili

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

tako za # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # imat ćemo

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # tako moguće # # Q su

#q_f = {80,72,56,32} # jer #q equiv 0 mod 4 #

tako da moramo pronaći

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # ili

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Ovdje, kao što možemo lako provjeriti, postoji jedino rješenje

# L_1 = 2, 4 # m_1 = jer

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = traka q_1 #

i stoga # n_1 = {4,5} #

i zamijenimo se u 1

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

davanje rješenja

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #