Što je integral int tan ^ 4x dx?

Odgovor:

# (Tan ^ 3 x) / 3-tanx + x + C #

Obrazloženje:

Rješavanje trigenerativnih alata obično uključuje razbijanje integrala kako bi se primijenili Pitagorejski identiteti, a oni koriste a # U #-substitution. To je upravo ono što ćemo ovdje.

Počnite s prepisivanjem # Inttan ^ 4xdx # kao # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #, Sada možemo primijeniti Pitagorejski identitet # Tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #, ili # ^ Tan 2x = sec-1 ^ 2x #:

# Inttan ^ ^ 2xtan 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuiranje # Tan ^ 2x #:

#COLOR (bijeli) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xtan ^ 2xdx #

Primjenjujući pravilo zbroja:

#COLOR (bijeli) (XX) = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Te ćemo integrale procijeniti jedan po jedan.

Prvi Integral

Ovo je riješeno pomoću a # U #-substitution:

pustiti # U = tanx #

# (Du) / dx = sec ^ 2 x #

# Du = sek ^ 2xdx #

Primjena zamjene, #COLOR (bijeli) (XX) intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = intu ^ 2du #

#COLOR (bijeli) (XX) u = ^ 3/3 + C #

Jer # U = tanx #, # Intsec ^ ^ 2xtan 2xdx = (tamne ^ 3 x) / 3 + C #

Drugi Integral

Budući da zapravo ne znamo što # Inttan ^ 2xdx # je samo gledajući ga, pokušajte primijeniti # Tan ^ 2-sec-1 ^ 2x # ponovno identitet:

# Inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) # dx

Koristeći pravilo zbroja, integral se svodi na:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Prvi od njih, # Intsec ^ 2xdx #, je samo # Tanx + C #, Drugi, takozvani "savršeni integral", je jednostavno # X + C #, Sve skupa možemo reći:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

I zato # C + C # je samo jedna proizvoljna konstanta, možemo je kombinirati u opću konstantu # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Kombinirajući dva rezultata, imamo:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ ^ 2xtan 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((^ tan 3x) / 3 + C) - (x + tanx-C) = (žutosmeđe ^ 3 x) / 3-tanx + x + C #

Opet, jer # C + C # je konstanta, možemo ih spojiti u jednu # C #.

Što je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Naš veliki problem u ovom integralu je korijen pa ga se želimo riješiti. To možemo učiniti uvođenjem supstitucije u = sqrt (2x-1). Derivacija je tada (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Dakle, dijelimo kroz (i zapamtimo, dijeljenjem s recipročnim je isto kao i množenjem samo nazivnikom) da bismo se integrirali s obzirom na u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / otkazati (sqrt (2x-1)) otkazati (sqrt (2x-1)) du = int t U Sada je sve što trebamo učiniti je izraziti x ^ 2 u smislu u (budući da ne možete integrirati x s obzirom

Što je integral int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Prvo zamjenjujemo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Izvedi druga supstitucija: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split pomoću djelomičnih frakcija: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Sada imamo: -1 / (2

Što je integral int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sex ^ (2) (x) + ln | sec (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Znajući činjenicu da tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, možemo je prepisati kao int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, što daje int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sek ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Prvi integral: Neka je u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Drugi integral: Neka je u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Stoga int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx imajte na umu da int tan (x) dx = ln | sec (x) | + C, dajući nam 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | sec (x) | + C Zamjena u natrag u izraz daje nam konač