Što je integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Odgovor:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2 x-1) + C #

Obrazloženje:

Naš veliki problem u ovom integralu je korijen pa ga se želimo riješiti. To možemo učiniti uvođenjem zamjene # U = sqrt (2 x-1) #, Potom je derivat

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2 x-1) #

Dakle, dijelimo kroz (i zapamtimo, dijeljenje recipročnim je isto kao i množenje samo nazivnikom) da bismo se integrirali s obzirom na # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / otkazati (sqrt (2x-1)) otkazati (sqrt (2x-1)) = int t

Sada samo trebamo izraziti # X ^ 2 # u smislu # U # (budući da ne možete integrirati #x# s poštovanjem # U #):

# U = sqrt (2 x-1) #

# U ^ 2-2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (Z ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Možemo ovo uključiti u naš integralni da bismo dobili:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

To se može procijeniti pomoću reverzibilnog pravila:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Ponovna uspostava # U = sqrt (2 x-1) #, dobivamo:

# 1/20 (2 x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2 x-1) + C #