Što je integral int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Odgovor:

# 1/2 -ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Obrazloženje:

Prvo zamjenjujemo:

# U = e ^ (2x) + 1; e ^ (2 x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2 x), dx = (du) / (2e ^ (2x)) *

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (U-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) # du

Izvršite drugu zamjenu:

# V ^ 2-u, v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) = 2vdv intv ^ 2 / (v ^ 2-1) DV = Int1 + 1 / (v ^ 2-1) DV #

Razdvajanje pomoću djelomičnih frakcija:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (1 + v) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = 2a #, # A = -1/2 #

Sada imamo:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) *

# Int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)), dv-int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)), dv = 1/2 -ln (aBS (v + 1)) + ln (aBS (v-1)) v + C #

Zamjena natrag # V = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (ABS (sqrt (u) 1)) + ln (ABS (sqrt (u) 1)) + sqrt (u) + C #

Zamjena natrag # U = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (ABS (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #