Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Odgovor:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Obrazloženje:

Možemo to učiniti #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) n ^ # je geometrijska serija s omjerom # R = 1 / (x (1-x)) *.

Sada znamo da se geometrijska serija konvergira kada je apsolutna vrijednost omjera manja od 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Stoga moramo riješiti ovu nejednakost:

# 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1

Počnimo s prvim:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1 x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Lako možemo dokazati da je numerator uvijek pozitivan, a nazivnik negetivan u intervalu #x u (-oo, 0) U (1, oo) #.

Dakle, ovo je rješenje za našu prvu nejednakost.

Pogledajmo drugi:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Ova nejednakost ima rješenje intervala:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Tako se naša serija konvergira tamo gdje su to i intervali istina.

Stoga je naš interval konvergencije:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {infty} (cos x) ^ n?

Pogledaj ispod. Koristeći polinomski identitet (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) imamo za abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x), dakle, za x ne k pi, k u ZZ imamo sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Koji je interval konvergencije sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 (frac {x + 1} {x-2})] ^ n? A koji je zbroj u x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["je interval konvergencije za x" "x = 3 nije u intervalu konvergencije, tako da je suma za x = 3" oo "Tretirati sumu kao to je geometrijska serija zamjenom "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "Tada imamo" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "za" | z | <1 "Tako je interval konvergencije" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativno)" "Pozitivni slučaj:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) =

Koji je radijus konvergencije za ove energetske serije? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Abs z <1 d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdot + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdot) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k ali sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Sada razmatrajući abs z <1 imamo sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = 1 / (1 + z) i int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) sada čineći zamjenu z -> - z imamo -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) tako je konvergentan za abs z <1