Koji je interval konvergencije suma {n = 0} ^ {oo} (frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Odgovor:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Obrazloženje:

Možemo to učiniti #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) n ^ # je geometrijska serija s omjerom # R = 1 / (x (1-x)) *.

Sada znamo da se geometrijska serija konvergira kada je apsolutna vrijednost omjera manja od 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Stoga moramo riješiti ovu nejednakost:

# 1 / (x (1-x)) <1 i 1 / (x (1-x))> -1

Počnimo s prvim:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1 x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Lako možemo dokazati da je numerator uvijek pozitivan, a nazivnik negetivan u intervalu #x u (-oo, 0) U (1, oo) #.

Dakle, ovo je rješenje za našu prvu nejednakost.

Pogledajmo drugi:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Ova nejednakost ima rješenje intervala:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Tako se naša serija konvergira tamo gdje su to i intervali istina.

Stoga je naš interval konvergencije:

#x u (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #