Zašto faktorijali ne postoje za negativne brojeve?

Odgovor:

Postojala bi proturječnost s njezinom funkcijom.

Obrazloženje:

Jedna od glavnih praktičnih primjena faktorijala je da vam da broj načina za permutiranje objekata. Ne možeš permutirati #-2# objekte jer ne možete imati manje od #0# predmeti!

Odgovor:

Ovisi što misliš …

Obrazloženje:

Faktorije su definirane za cijele brojeve kako slijedi:

#0! = 1#

# (N + 1)! = (n + 1) n!

To nam omogućuje da definiramo što podrazumijevamo pod "Factorial" za bilo koji ne-negativni cijeli broj.

Kako se ova definicija može proširiti na druge brojeve?

Gama funkcija

Postoji li kontinuirana funkcija koja nam omogućuje da se "pridružimo točkama" i definiramo "Factorial" za bilo koji ne-negativni stvarni broj?

Da.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

To pokazuje integracija po dijelovima #Gamma (t + 1) = t Gama (t) #

Za pozitivne cijele brojeve # # N pronašli smo #Gamma (n) = (n-1)! #

Možemo proširiti definiciju #Gamma (t) # pomoću negativnih brojeva #Gamma (t) = (gama (t + 1)) / t #, osim u slučaju #t = 0 #.

Nažalost, to znači #Gamma (t) # nije definirano kada # T # je nula ili negativan cijeli broj. #Gama# funkcija ima jednostavan pol na #0# i negativni prirodni brojevi.

Druge opcije

Postoje li druga proširenja "Factorial" koja imaju vrijednosti za negativne cijele brojeve?

Da.

Rimski Factorial je definiran kako slijedi:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, ako n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), ako n < 0):} #

To je nazvano po matematičaru S. Romanu, a ne prema Rimljanima, a koristi se za zgodan zapis koeficijenata harmonijskog logaritma.