Što je eksponencijalna funkcija? - Viša Aritmetika 2024

Eksponencijalna funkcija koristi se za modeliranje odnosa u kojem konstantna promjena nezavisne varijable daje istu proporcionalnu promjenu u zavisnoj varijabli.

Funkcija se često piše kao exp (x) Široko se koristi u fizici, kemiji, inženjerstvu, matematičkoj biologiji, ekonomiji i matematici.

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika #F (x) = a ^ x # s #A> 0 # ali #A! = 1 #.

Za cijeli i racionalno #x#, dajemo definicije # A ^ x # ranije u klasama algebre.

Za iracionalno #x# dugujemo vam definiciju, ali jedan pristup definiciji je opisati # A ^ x # za iracionalno #x# kao broj thar # A ^ r # postaje racionalniji # R # približiti se #x#, (Dugujemo vam dokaz da postoji jedinstveni takav broj.)

Primjeri:

#F (x) = x 2 ^ #

#F (x) = x 5 ^ #

#F (x) = (2/5) ^ x #

#f (x) = 4 ^ x = (2 ^ 2) ^ x = 2 ^ (2x) #

Posljednji primjer ilustrira zašto također razmatramo #F (x) = a ^ (KX) # za konstantu #K! = 0 # biti eksponencijalne funkcije

Možemo pisati #F (x) = a ^ (KX) = (a ^ k) ^ x # i #A> 0 # i #K! = 0 # ovaj #F (x) = x ^ b # za "pravu vrstu" od # B #. (#b> 0 #, i #b! = 1 #)

Je li y = 3 ^ x eksponencijalna funkcija?

Da - ona je u obliku y = a ^ x s a> 1 tako da je eksponencijalno rastuća funkcija. Izraz "eksponencijalna funkcija" koristi se za e ^ x, ali svaka funkcija f (x) = a ^ x s a> 0 i a! = 1 je eksponencijalna funkcija. Ako je k = log_e (a), onda a ^ x = e ^ (kx)

Što je eksponencijalna funkcija u obliku y = ab ^ x čiji grafikon prolazi kroz (1,3) (2,12)?

Y = 3 * 4 ^ (x-1) y = ab ^ x Govori nam se da točke (1,3) i (2,12) leže na grafu y Dakle: y = 3 kada je x = 1 i y = 12 kada je x = 2:. 3 = a * b ^ 1 [A] i 12 = a * b ^ 2 [B] [A] -> a = 3 / b [C] [C] u [B] -> 12 = 3 / b * b ^ 2 b = 4 b = 4 u [C] -> a = 3/4 Stoga je naša funkcija y = 3/4 * 4 ^ x što pojednostavljuje do: y = 3 * 4 ^ (x-1) Možemo testirati ovo se procjenjuje y na x = 1 i x = 2, kao ispod: x = 1: y = 3 * 4 ^ 0 = 3 * 1 = 3 Provjerite ok x = 2: y = 3 * 4 ^ 1 = 3 * 4 = 12 Provjerite ok Dakle, eksponencijalna funkcija je ispravna.

Što eksponencijalna funkcija za točke (0,2) (2,18) objasniti?

F (x) = 2 (3 ^ x) Želimo eksponencijalnu funkciju u obliku f (x) = b (a ^ x) takvu da f (0) = b (a ^ 0) = 2 i f (2) = b (a ^ 2) = 18 Za b (a ^ 0) = 2 slu ~ aj, znamo ^ 0 = 1 za sve realne (ne-nulte) brojeve, tako da imamo b (1) = 2 b = 2 Dakle, prelazak na slučaj b (a ^ 2) = 18, znamo b = 2 tako da možemo reći 2 (a ^ 2) = 18 a ^ 2 = 18/2 a ^ 2 = 9 a = 3, kao 3 ^ 2 * 3 = 3 = 9. Dakle, funkcija je f (x) = 2 (3 ^ x)