Z1 + z2 = z1 + z2 ako i samo ako arg (z1) = arg (z2), gdje su z1 i z2 kompleksni brojevi. kako? Molim te objasni!

Odgovor:

Ljubazno pogledajte Rasprava u Obrazloženje.

Obrazloženje:

Neka, # | Z_j | = r_j; r_j gt 0 i arg (z_j) = theta_j u (-pi, pi; (j = 1,2).

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2.

Jasno, # (Z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (+ R_1costheta_1 r_2costheta_2) + i (+ r_1sintheta_1 r_2sintheta_2). #

Sjetite se da, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + 2 + r_2 ^ 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (zvijezda ^ 1) #.

# "Sada s obzirom na to," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, tj., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (zvijezda ^ 2).

Iz # (zvjezdica ^ 1) i (zvjezdica ^ 2) # dobivamo, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Otkazivanje" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k u ZZ.

# "No," theta_1, theta_2 u (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0 ili, #

# theta_1 = theta_2, "davanje", arg (z_1) = arg (z_2), # kao želji!

Tako smo pokazali da, # | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2).

razgovarati može se dokazati na sličnim linijama.

Uživajte u matematici.!