Koji je nagib tangentne linije r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) na theta = (pi) / 4?

Odgovor:

Nagib je #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Obrazloženje:

Ovdje je referenca na Tangente s polarnim koordinatama

Iz referencije dobivamo sljedeću jednadžbu:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Moramo izračunati # (dr) / (d theta) # ali molim vas da to primijetite #R (theta) # može se pojednostavniti korištenjem identiteta #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tana ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sek ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sek ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Procijenimo gore na # Pi / 4 #

# sek ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16 - 16pi) / (pi ^ 2) #

Procijenite r at # Pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Napomena: Napravio sam navedeni nazivnik # Pi ^ 2 # tako da je to bilo zajedničko s nazivnikom # R '# i stoga bi poništili kada bismo ih stavili u sljedeću jednadžbu:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Na # Pi / 4 # sinusi i kosinusi su jednaki, stoga će otkazati.

Spremni smo napisati jednadžbu za nagib, m:

#m = (16 - 16pi + 4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #