Zašto ne možemo integrirati x ^ x?

Odgovor:

Nemamo pravilo za to.

Obrazloženje:

U integralima imamo standardna pravila. Pravilo protiv lanca, pravilo protiv proizvoda, pravilo protiv moći, i tako dalje. Ali nemamo ga za funkciju koja ima #x# u bazi i na snazi. Možemo uzeti derivat od njega sasvim u redu, ali pokušati uzeti njegov integralni je nemoguće zbog nedostatka pravila s kojima će raditi.

Ako otvorite Desmos Kalkulator grafičara, možete pokušati uključiti

# int_0 ^ x a ^ ada #

i to će biti u redu. Ali ako pokušate upotrijebiti pravilo anti-power ili anti-eksponentno pravilo za grafikon protiv njega, vidjet ćete da ne uspijeva. Kada sam ga pokušao pronaći (na čemu još radim), moj prvi korak bio je da ga uklonim iz ovog obrasca u sljedeće:

# Inte ^ (xln (x)) dx #

To nam u biti omogućuje bolje korištenje pravila računanja. Ali čak i kada koristite Integration by Parts, nikada se zapravo ne možete riješiti integralnog. Stoga, zapravo ne dobivate funkciju da to odredite.

Ali kao i uvijek u matematici, zabavno je eksperimentirati.Zato nastavite i pokušajte, ali ne predugo ili teško, uvući ćete se u ovu zečju rupu.

Odgovor:

Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

#y = x ^ x # može se integrirati. Na primjer

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

druga stvar je imati sada nekoliko dana, funkciju #F (x) * koji predstavlja u zatvorenom obliku, primitivno za # X ^ x # ili drugim riječima, tako da

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Da je to bila uobičajena funkcija u tehničko-znanstvenim problemima, zasigurno bismo izmislili diferencirano ime i simbol kako bismo njime manipulirali. Kao što je Lambertova funkcija definirana kao

#W (x) = x e ^ x #

Odgovor:

Pogledajte dolje.

Obrazloženje:

Kao što je Cesareo ukazao (bez izlaganja), postoji neka dvosmislenost u "ne možemo integrirati".

Funkcija #f (x) = x ^ x # je kontinuirano # (0, oo) #

i na # 0, oo) # ako uspijemo #F (0) = 1 #, učinimo to. Dakle, definitivni integral

# int_a ^ b x ^ x dx # postoji za sve # 0 <= a <= b #

Nadalje, temeljni teorem kalulusa govori nam o funkciji # int_0 ^ x t ^ t dt # ima derivat # X ^ x # za #x> = 0 #

Ono što ne možemo učiniti je izraziti ovu funkciju u lijepom, konačnom, zatvorenom obliku algebarskih izraza (ili čak dobro poznavati transcendentalne funkcije).

U matematici postoje mnoge stvari koje se ne mogu izraziti osim u obliku koji omogućuje sukcesivno bolje aproksimacije.

Na primjer:

Broj čiji je kvadrat #2# ne može se izraziti u decimalnom ili djelomičnom obliku pomoću konačnog izraza. Tako mu dajemo simbol, # Sqrt2 # i približite je bilo kojoj željenoj razini točnosti.

Omjer opsega i promjera kruga ne može se konačno izraziti korištenjem konačne algebarske kombinacije cijelih brojeva, pa mu damo ime, # Pi # i približite je bilo kojoj željenoj razini točnosti.

Rješenje za # x = cosx # Također se može aproksimirati na bilo koji željeni stupanj točnosti, ali ne može biti konačan izraz. Ovaj broj (možda) nije dovoljno važan da bi mu se dalo ime.

Kao što je Cesareo rekao, ako je sastavni dio # X ^ x # ima mnogo aplikacija, matematičari će usvojiti ime za to.

No, proračuni bi još uvijek zahtijevali beskonačnu aproksimaciju.