Kako ste pronašli područje ograničeno krivulje y = -4sin (x) i y = sin (2x) preko zatvorenog intervala od 0 do pi?

Odgovor:

procijeniti

# Int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Područje je: #8#

Obrazloženje:

Područje između dvije kontinuirane funkcije #F (x) * i #G (x) * nad #x u a, b # je:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Stoga, moramo pronaći kada #F (x)> g (x) *

Neka krivulje budu funkcije:

#F (x) = - 4sin (x) *

#G (x) = sin (2 x) #

#F (x)> g (x) *

# -4sin (x)> sin (2x) #

Znajući da #sin (2 x) = 2sin (x) cos (x) *

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Podijeli po #2# što je pozitivno:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Podijeli po # Sinx # bez obrnutog znaka, jer #sinx> 0 # za svaki #x u (0, π) #

# -2> cos (x) *

Što je nemoguće, jer:

# -1 '= cos (x) <1 #

Dakle, početna izjava ne može biti istinita. Stoga, #F (x) <= g (x) * za svaki #x u 0, π #

Integral se izračunava:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2 x) _ ^ 0 π-4 cos (x) _ ^ 0 π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#