Pretpostavimo da je X kontinuirana slučajna varijabla čija je funkcija gustoće vjerojatnosti dana: f (x) = k (2x - x ^ 2) za 0 <x <2; 0 za sve ostale x. Koja je vrijednost k, P (X> 1), E (X) i Var (X)?

Odgovor:

# K = 3/4 #

#P (x> 1) = 1/2 #

#E (X) = 1 #

#V (X)-1/5 #

Obrazloženje:

Pronaći # K #, koristimo # Int_0 ^ 2f (x) dx = 2k int_0 ^ (2 x-x ^ 2) dx = 1 #

#:. k 2x ^ 2/2-x ^ 3/3 _0 ^ 2 = 1 #

#K (4-8 / 3) = 1 # #=>## 4 / 3k = 1 ##=>## K = 3/4 #

Izračunati #P (x> 1) #, koristimo #P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) #

# = 1 int_0 ^ 1 (3/4) (2 x-x ^ 2) = 1-3 / 4 2x ^ 2 / 2x ^ 3/3 _0 ^ 1 #

#=1-3/4(1-1/3)=1-1/2=1/2#

Izračunati #E (X) *

#E (X) = int_0 ^ 2xf (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2 x ^ 2x ^ 3) dx #

# = 3/4 2x ^ 3/3 x ^ 4/4 _0 = 3 ^ 2/4 (16 / 3-16 / 4) = 3/4 * 16/12 = 1 #

Izračunati #V (X) *

#V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2-E (X ^ 2) -1 #

#E (X ^ 2) = int_0 ^ 2x ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2 x ^ 3 ^ 4 x) dx #

# = 3/4 2x ^ iu 4/4-x ^ 5/5 _0 ^ 2 = 3 / 4. (8-32 / 5) = 6/5 #

#:. V (X) = 6 / 5-1 = 1/5 #

Pretpostavimo da se slučajna varijabla x najbolje opisuje jedinstvenom raspodjelom vjerojatnosti s rasponom od 1 do 6. Što je vrijednost a koja čini P (x <= a) = 0,14 istinitim?

A = 1.7 Dijagram u nastavku prikazuje ravnomjernu raspodjelu za dani raspon pravokutnik ima područje = 1 tako (6-1) k = 1 => k = 1/5 želimo P (X <= a) = 0,14 ovo je naznačeno kao sivo osjenčano područje na dijagramu tako da: (a-1) k = 0,14 (a-1) xx1 / 5 = 0,14 a-1 = 0,14xx5 = 0,7: .a = 1,7

Neka je f kontinuirana funkcija: a) Pronađi f (4) ako je _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx za sve x. b) Nađite f (4) ako je 0_0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx za sve x?

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Razlikovati obje strane. Kroz Drugi temeljni teorem računanja s lijeve strane i pravila proizvoda i lanca na desnoj strani vidimo da diferencijacija otkriva da: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) ) Dopuštajući x = 2 pokazuje da f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Integrirajte unutarnji pojam. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Procijenite. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 f (4) = 0

Koja je srednja vrijednost i varijanca slučajne varijable sa sljedećom funkcijom gustoće vjerojatnosti ?: f (x) = 3x ^ 2 ako -1 <x <1; 0 u suprotnom

Srednja vrijednost E (X) = 0 i varijacija "Var" (X) = 6/5. Imajte na umu da E (X) = int_-1 ^ 1 x * (3x ^ 2) "" dx = int_-1 ^ 1 3x ^ 3 "" dx = 3 * [x ^ 4/4] _ ("(" - 1, 1 ")") = 0 Također imajte na umu da je "Var" (x) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = 3 * [x ^ 5/5] _ ("(" - 1, 1 ")" - 0 ^ 2 = 3/5 * (1 + 1) = 6/5