Odgovor:
Savjet 1: Pretpostavimo da je jednadžba # x ^ 2 + x-u = 0 # s # U # cijeli broj ima cjelobrojno rješenje # # N, Pokaži to # U # je ravnomjerno.
Obrazloženje:
Ako # # N je rješenje postoji cijeli broj # M # tako da
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Gdje #nm = u # i # m-n = 1 #
Ali druga jednadžba to podrazumijeva #m = n + 1 #
Sada, oboje # M # i # # N su cijeli brojevi, tako da jedan od # # N, # N + 1 # je čak i #nm = u # je ravnomjerno.
Prijedlog
Ako # U # je neparan cijeli broj, zatim jednadžba # x ^ 2 + x - u = 0 # nema rješenja koje je cijeli broj.
Dokaz
Pretpostavimo da postoji cjelovito rješenje # M # jednadžbe:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
gdje # U # je neparan cijeli broj. Moramo ispitati dva moguća slučaja:
# M # je neparan; ili
# M # je ravnomjerno.
Prvo, razmotrimo slučaj gdje # M # je neparan, onda postoji cijeli broj # K # tako da:
# m = 2k + 1 #
Od sada # M # je korijen naše jednadžbe, to mora biti:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
I mi imamo kontradikciju, kao # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # je ravnomjeran, ali # U # je čudno.
Zatim razmotrimo slučaj gdje # M # je paran, onda postoji cijeli broj # K # tako da:
# m = 2k #
Slično tome, od # M # je korijen naše jednadžbe, to mora biti:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
I opet, imamo kontradikciju, kao # 2 (2k ^ 2 + k) # je ravnomjeran, ali # U # je čudno.
Tako smo dokazali da ne postoji cjelovito rješenje jednadžbe # x ^ 2 + x - u = 0 # gdje # U # je neparan cijeli broj.
Stoga je tvrdnja dokazana. QED
Odgovor:
Pogledaj ispod.
Obrazloženje:
Ako # 2 x ^ + x-u = 0 # zatim
#x (x + 1) = u # onda ako #x# je cijeli broj, #x (x + 1) # je čak i proturječje, jer # U # hipoteza je neparna.
