Odgovor:
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
Obrazloženje:
Nošenje …
pustiti # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #
# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #
# => sqrt (3) / 2 du = dx #
# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #
# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #
# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #
Upotrebom antiderivnog što bi se trebalo posvetiti pamćenju …
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #
# => u = (2x-1) / sqrt3 #
# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
Ovo je nezgodan integralni dio, a rješenje se na prvi pogled neće činiti vidljivim. Budući da je ovo dio, možemo pokušati razmotriti korištenje tehnike djelomične frakcije, ali brza analiza otkriva da to nije moguće jer # X ^ 2-x + 1 # nije faktibilan.
Pokušat ćemo ovaj integralni dio dobiti u formu koju možemo zapravo integrirati. Primijetite sličnost između # Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # i # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; znamo da se ovaj posljednji integralni entitet vrednuje # Arctanx + C #, Stoga ćemo pokušati dobiti # X ^ 2-x + 1 # u obliku #K (X-a) ^ 2 + 1 #, a zatim primijenite # Arctanx # Pravilo.
Trebamo završiti kvadrat na # X ^ 2-x + 1 #:
# X ^ 2-x + 1 #
# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #
# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4 #
# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #
# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #
# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2),) ^ 2 + 1) #
(vrlo neuredno, znam)
Sada kada ga imamo u željenom obliku, možemo nastaviti kako slijedi:
# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = Int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2),) ^ 2 + 1)) dx #
# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2),) ^ 2 + 1) dx #
# = 4 / 3int1 / (((2 x-1) / (sqrt (3)),) ^ 2 + 1) dx #
# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2 x-1) / sqrt (3))) + C #
# = (2arctan ((2 x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #
