Rješavanje ovog problema pomoću riemann integrala?

Odgovor:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ili # cca 1.302054638 … #

Obrazloženje:

Najvažniji identitet broj jedan za rješavanje bilo koje vrste problema s beskonačnim proizvodom je pretvaranje istog u problem beskonačnih suma:

# {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

naglasiti:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

No, prije nego što to možemo učiniti, moramo se prvo pozabaviti s frakcijom {1} {n ^ 2} u jednadžbi i btw neka se naziva beskonačni proizvod L:

# L = lim_ {n + fft} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + +} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2) ^ {frac {1} {n}} = lim_ {n + + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

Sada to možemo pretvoriti u beskonačnu sumu:

# L = lim_ {n + +} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = lim_ {n + +} infty exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

primijeniti logaritamska svojstva:

# L = lim_ {n + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

I pomoću svojstava ograničenja:

# L = exp lim_ {n + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nazovimo beskonačnu sumu S:

# S = lim_ {n + +} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

I imajte na umu to

# L = exp (S) #

Sada ćemo riješiti vaše pitanje pretvaranjem iz a RIEMANN SUM do a DEFINITE INTEGRAL:

Podsjetimo se da je definicija Riemannove suma:

naglasiti:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n + +} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n) frac {ba} {n} #

pustiti

# lim_ {n + + ofty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n = + ofty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Sada, pusti # f (x) = ln (1 + x ^ 2) i a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Dakle, b = 1, tj.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Stoga,

# S = lim_ {n + +} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Riješite za # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

koristiti integraciju po dijelovima:

# u uv dx = u int v dx - int (u '* v vdx) dx #

pustiti # u = ln (1 + x ^ 2) i v = 1 #

Zatim upotrijebite pravilo lanca i derivat prirodnog logaritma da biste dobili # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

i upotrijebite pravilo moći da biste dobili: # 1dx = x #

# ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - r (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 d fx {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 f frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Koristi pravilo oduzimanja:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 hr frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Pravilo upotrebe snage za prvi integral i drugi integralni standard je standardna trigonometrijska funkcija # arctan (x) # (inverzna funkcija tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Tako, # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sada riješite za određeni integral:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

znamo da je anti-derivat # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Tako

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1 ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

imajte na umu da je arctan (1) 45 ° ili # frac {pi} {4} # (podsjetiti na posebni pravokutni trokut s duljinama stranica 1,1, # Sqrt {2} # i kutove 45 °, 45 °, 90 °) i također # arctan (0) = 0 #

Tako #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {pi} {2} #

ili # cca 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Stoga je rješenje # l_ {n + +} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ili # cca 1.302054638 … #