Koji su ekstremi i sjedala f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Odgovor:

#(0,0)# je sedlo

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # su lokalni maksimumi

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # i # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # su lokalni minimumi

# (0, pm 1 / sqrt 2) # i # (pm 1 / sqrt 2,0) # su točke infleksije.

Obrazloženje:

Za opću funkciju #F (x, y) # sa stacionarnom točkom na # (X_0, y_0) # imamo proširenje Taylorove serije

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Za funkciju

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

imamo

# (del f) / (del x) = vi ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

Lako je vidjeti da oba prva derivata nestaju na sljedećim ponrsima

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Da bismo ispitali prirodu tih stacionarnih točaka, moramo pogledati ponašanje drugih derivata.

Sada

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-il} ^ 2 #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

i slično

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

i

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-il} ^ 2 #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Za #(0,0)# imamo # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - stoga

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Ako se približite #(0,0)# duž linije # X = y #ovo postaje

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

i tako #(0,0)# je očito minimalan ako se približavate iz tog smjera. S druge strane, ako se približite liniji # X = y # imamo

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

i tako #(0,0)# je maksimum duž tog smjera, Tako #(0,0)# je sedlo.

Za # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # to se lako vidi

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

što znači da

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Dakle, funkcija se smanjuje bez obzira na način na koji se udaljavate # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # a ovo je a lokalni maksimum, Lako se vidi da vrijedi isto # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (ovo je trebalo biti očito, jer funkcija ostaje ista ispod # (x, y) u (-x, -y) #!

Opet, za oboje # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # i # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # imamo

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # i # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Dakle, obje ove točke su lokalni minimumi.

Četiri točke # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) # problematičnije - budući da svi derivati drugog reda nestaju na tim točkama. Sada moramo pogledati derivate višeg reda. Na svu sreću, ne treba nam naporno raditi na tome - već na sljedećim prinosima

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

koja nije jednaka nuli za oba # (0, pm 1 / sqrt2) # i # (pm 1 / sqrt2, 0) #, To znači, na primjer

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

što pokazuje da će se to povećati s # f (0,1 / sqrt 2) # u jednom smjeru, a smanjuje se u drugom. Tako # (0,1 / sqrt2) # je točka infleksije. Isti argument vrijedi i za ostale tri točke.