Dokazati da funkcija nije lim u x_0 = 0? + Primjer

Odgovor:

Vidi objašnjenje.

Obrazloženje:

Prema Heineovoj definiciji granice funkcije imamo:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g if #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Dakle, pokazati da funkcija ima NE ograničenje na # X_0 # moramo pronaći dvije sekvence # {X_n} # i # {Bar (x) _n} # takva

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) = _n x_0 #

i

#lim_ {n -> + oo} f (x_n) = lim_ {n -> + oo}! f (bar (x) _n) #

U danom primjeru takve sekvence mogu biti:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # i #bar (x) = 1 _n / (3 ^ n) #

Obje sekvence se približavaju # X_0 = 0 #, ali prema formuli funkcije imamo:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

jer svi elementi u # X_n # su u #1,1/2,1/4,…#

i za #bar (x) _n # imamo:

#F (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

ali za sve #N> = 2 # imamo: #F (bar (x) _n) = 1 #

Za #N -> + oo # imamo:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

Obje sekvence se pokrivaju # X_0 = 0 #, ali granice (*) i (**) su NE jednako, tako da je granica #lim_ {x-> 0} f (x) * ne postoji.

QED

Definicija ograničenja može se naći na Wikipediji na:

Odgovor:

Ovdje je dokaz korištenjem negacije definicije postojanja granice.

Obrazloženje:

Kratka verzija

#F (x) * ne može pristupiti jednom broju # L # jer u svakom susjedstvu #0#, funkcija # F # preuzima vrijednosti koje se međusobno razlikuju #1#.

Dakle, bez obzira što netko predlaže # L #, postoje točke #x# blizu #0#, gdje #F (x) * je barem #1/2# jedinica udaljena od # L #

Duga verzija

#lim_ (xrarr0) f (x) # postoji ako i samo ako

postoji broj, # L # takav za sve #epsilon> 0 #, tamo je #delta> 0 # takva da za sve #x#, # 0 <abs (x) <delta # podrazumijeva #abs (f (x) -L) <epsilon #

Negacija toga je:

#lim_ (xrarr0) f (x) # ne postoji ako i samo ako

za svaki broj, # L # postoji #epsilon> 0 #, tako da za sve #delta> 0 # postoji #x#, tako da # 0 <abs (x) <delta # i #abs (f (x) -L)> = epsilon #

S obzirom na broj # L #Pustit ću #epsilon = 1/2 # (sve manje #epsilon# također će raditi)

Sada je pozitivno #delta#, Moram pokazati da postoji #x# s # 0 <absx <delta # i #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (prisjetite se toga #epsilon = 1/2 #)

Dano pozitivno #delta#, eventualno # 1/2 ^ n <delta # tako da postoji # X_1 # s #f (x_1) = 2 #.

Tu je i element # x_2 u RR- {1, 1/2, 1/4,.,, } # s # 0 <x_2 <delta # i #f (x_2) = 1 #

Ako #L <= (1/2) #, onda #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Ako #L> = (1/2) #, onda #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #