Koji su pokušaji bili pokušaji da se dokaže Collatzova pretpostavka?

Koji su pokušaji bili pokušaji da se dokaže Collatzova pretpostavka?
Anonim

Odgovor:

Nekoliko misli …

Obrazloženje:

Veliki poljski matematičar Paul Erdős rekao je za Collatzovu pretpostavku da "Matematika možda nije spremna za takve probleme." Ponudio je nagradu od 500 dolara za rješenje.

Čini se danas nepopustljivim kao kad je to rekao.

Moguće je izraziti Collatzov problem na nekoliko različitih načina, ali ne postoji pravi način da ga pokušamo riješiti. Kada sam prije gotovo 40 godina bio na sveučilištu, jedina ideja koju su ljudi imali je bila da je pogledaju koristeći 2-adičku aritmetiku.

Razmišljao sam o pokušaju da ga riješim pomoću neke vrste mjerno-teorijskog pristupa, ali o najboljem što bi mogao učiniti vjerojatno bi bilo pokazati da je skup brojeva koji ne udaraju #1# je mjerilo #0#, To ne bi isključivalo postojanje protuprimjera.

Collatzova pretpostavka provjerena je računalom za brojeve do oko #10^20#, ali to samo doista pokazuje da je uvjerljivo - ne dokazuje da je to točno za sve brojeve.

Da bismo razumjeli zašto su iterativni procesi poput onih u Collatzovoj pretpostavci toliko teško riješiti općenito, može pomoći vidjeti koliko je zapravo bogata kombinacija zbrajanja i množenja na prirodnim brojevima.

Na primjer, ako definirate bilo koji formalni matematički sustav s konačnim brojem simbola i dopuštenim operacijama, tada je osnovna aritmetika dovoljna da se kodificira. Tada postaje moguće konstruirati algebarsku izjavu koja interpretira učinkovito "ne mogu se dokazati u ovom formalnom sustavu". Takva izjava je tada istinita, ali nije dokaziva. Dakle, formalni sustav je dokazivo nepotpun.

To je otprilike bit dokaza o Gödelovom drugom teoremu nepotpunosti.