Kako biste odredili jednadžbu kruga koji prolazi kroz točke D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Odgovor:

Zamijenite svaku točku jednadžbi kruga, razvijete 3 jednadžbe i oduzmite one koje imaju najmanje 1 zajedničku koordinatu (#x# ili # Y #).

Odgovor je:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Obrazloženje:

Jednadžba kruga:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2-ρ ^ 2 #

Gdje #α# #β# su koordinate središta kruga.

Zamjena za svaku točku:

Točka D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Jednadžba 1)

Točka E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Jednadžba 2)

Točka F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Jednadžba 3)

Substraktne jednadžbe #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Substraktne jednadžbe #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Sada to #α# i #β# su poznati, zamijenite ih u bilo kojoj točki (koristit ćemo točku #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2-ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Jednadžba kruga postaje:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2-ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Odgovor:

Jednadžba kruga je # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Obrazloženje:

Prvo trebamo pronaći jednadžbu dviju linija, od kojih je svaka okomita na segmente koje tvori par danih točaka i prolaze kroz sredinu tog para točaka.

Od točaka D i E (# X_D = x_E = -5 #) nalaze se u pravcu paralelnom osi-Y (# X = 0 #) i točke E i F (# Y_E = y_F = 15 #) nalaze se u pravcu paralelnom s osi-X (# Y = 0 #) prikladno je odabrati ove parove točaka.

Jednadžba pravca DE, gdje # X_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Jednadžba linije 1 okomita na DE i prolazi kroz središnju točku #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

linija 1# -> y = 5 #

Jednadžba linije EF, gdje # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Jednadžba pravca 2 okomita na EF i prolaz kroz sredinu #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

redak 2# -> x = 5 #

Kombiniranje jednadžbi linija 1 i 2 (# Y = 5 # i # X = 5 #) nalazimo središte kruga, točku C

#C (5,5) *

Udaljenost između točke C do bilo koje od navedenih točaka jednaka je radijusu kruga

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

U formuli jednadžbe kruga:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2-R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #