Postoji li sustavan način određivanja broja brojeva između 10 i, recimo, 50, koji se mogu podijeliti s brojevima njihovih jedinica?

Odgovor:

Broj brojeva između #10# i # 10k # djeljiv sa svojim jedinicama znamenka može biti predstavljena kao

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

gdje #fl (x) * predstavlja funkciju poda, mapiranje #x# na najveći cijeli broj manji ili jednak #x#.

Obrazloženje:

Ovo je ekvivalentno pitanju koliko cijelih brojeva # S # i # B # postoje gdje # 1 <= b <5 # i # 1 <a <= 9 # i # S # dijeliti # 10b + a #

Zapamtite to # S # dijeliti # 10b + a # ako i samo ako # S # dijeliti # 10b #, Dakle, dovoljno je pronaći koliko takvih # B #postoje za svaki # S #, Također, imajte na umu to # S # dijeliti # 10b # ako i samo ako je svaki od glavnih faktora # S # također je glavni čimbenik # 10b # s odgovarajućom množinom.

Onda ostaje samo prolaziti kroz svaki # S #.

#a = 1 #: Kao što su svi brojevi djeljivi s #1#, sve četiri vrijednosti za # B # raditi.

# A = 2 #: Kao #10# je djeljiv s #2#, sve četiri vrijednosti za # B # raditi.

# A = 3 #: Kao #10# nije djeljiv s #3#, moramo imati # B # da je djeljiv prema #3#, to je, # B = 3 #.

# A = 4 #: Kao #10# je djeljiv s #2#, moramo imati # B # kao djeljiv prema #2# imati odgovarajuću mnogostrukost. Tako, # B = 2 # ili # B = 4 #.

# A = 5 #: Kao #10# je djeljiv s #5#, sve četiri vrijednosti za # B # raditi.

# A = 6 #: Kao #10# je djeljiv s #2#, moramo imati # B # kao djeljiv prema #3#, to je, # B = 3 #.

# A = 7 #: Kao #10# nije djeljiv s #7#, moramo imati # B # kao djeljiv prema #7#, Ali #b <5 #, pa nema vrijednosti za # B # djela.

# A = 8 #: Kao #10# je djeljiv s #2#, moramo imati # B # kao djeljiv prema #4#, to je, # B = 4 #

# A = 9: # Kao #10# nije djeljiv s #3#, moramo imati # B # kao djeljiv prema #3^2#, Ali #b <5 #, pa nema vrijednosti za # B # djela.

Ovim zaključujemo svaki slučaj, pa tako, dodajući ih, dobivamo, kao što je zaključeno u pitanju, #17# vrijednosti. Međutim, ova se metoda lako može proširiti na veće vrijednosti. Na primjer, ako želimo otići #10# do #1000#, ograničili bismo # 1 <= b <100 #, Zatim, gledajući # A = 6 #, recimo, imali bismo #2# dijeliti #10# i na taj način #6# dijeliti # 10b # ako i samo ako #3# dijeliti # B #, Tamo su #33# višekratnika #3# u rasponu za # B #, i na taj način #33# brojevi koji završavaju #6# i djeljivi su na #6# između #10# i #1000#.

U kraćem, lakšem za izračunavanje, pomoću napomena gore, možemo napisati broj integers između #10# i # 10k # kao

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

gdje #fl (x) * predstavlja funkciju poda, mapiranje #x# na najveći cijeli broj manji ili jednak #x#.

Tom je napisao 3 uzastopna prirodna broja. Iz kubnog zbroja tih brojeva oduzeo je trostruki proizvod tih brojeva i podijelio ga aritmetičkim prosjekom tih brojeva. Koji je broj Tom napisao?

Konačni broj koji je Tom napisao bio je boja (crvena). 9 Napomena: mnogo toga ovisi o mom ispravnom razumijevanju značenja različitih dijelova pitanja. 3 uzastopna prirodna broja Pretpostavljam da bi to moglo biti predstavljeno skupom {(a-1), a, (a + 1)} za neke a u NN kocke u tim brojevima pretpostavljam da bi to moglo biti predstavljeno kao boja (bijela) ( "XXX") (a-1) ^ 3 + a ^ 3 + (a + 1) ^ 3 boja (bijela) ("XXXXX") = a ^ 3-3a ^ 2 + 3a-1 boja (bijela) ( XXXXXx ") + a ^ 3 boja (bijela) (" XXXXXx ") ul (+ a ^ 3 + 3a ^ 2 + 3a + 1) boja (bijela) (" XXXXX ") = 3a ^ 3boja (bijela)

"Lena ima dva uzastopna broja.Primijeti da je njihov iznos jednak razlici između njihovih kvadrata. Lena bira još dva uzastopna broja i primjećuje istu stvar. Dokazati algebarski da je to istina za bilo koja dva uzastopna broja?

Molimo Vas da pogledate Objašnjenje. Sjetite se da se uzastopni prirodni brojevi razlikuju za 1. Dakle, ako je m cijeli broj, tada sljedeći cijeli broj mora biti n + 1. Zbroj tih dvaju prirodnih brojeva je n + (n + 1) = 2n + 1. Razlika između njihovih kvadrata je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, po želji! Osjetite radost matematike!

Winnie preskače sa 7s počevši od 7 i piše ukupno 2.000 brojeva, Grogg preskoči broj od 7 počevši od 11 i piše ukupno 2.000 brojeva Koja je razlika između zbroja svih Groggovih brojeva i zbroja svih Winniejevih brojeva?

Pogledajte postupak rješavanja u nastavku: Razlika između Winnieja i Groggovog prvog broja je: 11 - 7 = 4 Oboje su napisali 2000 brojeva Oba su preskočila brojeći se istim iznosom - 7s Dakle, razlika između svakog broja koji je Winnie napisao i svaki broj Grogg Također je 4 Stoga je razlika u zbroju brojeva: 2000 xx 4 = boja (crvena) (8000)