Kako dokazujete (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Odgovor:

Koristite nekoliko identiteta trigona i pojednostavite. Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Vjerujem da postoji pogreška u pitanju, ali to nije velika stvar. Da bi to imalo smisla, pitanje bi trebalo glasiti:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (sek - tanx) ^ 2 #

U svakom slučaju, počinjemo s ovim izrazom:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Kada dokazujete identitet trigona, općenito je najbolje raditi na strani koja ima frakciju).

Koristimo uredan trik nazvan konjugirano množenje, gdje množimo frakciju s nazivnikom konjugat:

# (1-sinx) / (1 + sinx) + (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) *

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) *

Konjugata # A + b # je # A-b #, tako konjugat od # 1 + # sinx je # 1 sinx #; umnožavamo # (1-sinx) / (1-sinx) # za uravnoteženje frakcije.

Zapamtite to # (1 + sinx) (1-sinx) # je zapravo razlika kvadrata, koji ima svojstvo:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Evo, to vidimo # A = 1 # i # B = sinx #, dakle:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2-1-sin ^ 2x #

Iz Pitagorejskog identiteta # Grijeh ^ 2x + cos ^ 2 x = 1 #, slijedi da (nakon oduzimanja # Grijeh ^ 2x # s obje strane), # Cos ^ 2 x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, otišli smo # (1-sinx) / (1-sinx) # do # 1-sin ^ 2x # do # cos ^ 2 x #! Sada naš problem izgleda ovako:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Proširimo brojnik:

# (1-2sinx + sin ^ 2 x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Zapamtiti: # (A-b) = 2 ^ a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Sada ćemo razbiti dijelove:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Kako pojednostaviti da ? Sjeti se kad sam rekao: "Zapamti: # (A-b) = 2 ^ a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Ispostavilo se da # Sek ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # je zapravo # (Secx-tanx) ^ 2 #, Ako dopustimo # A = secx # i # B = tanx #, možemo vidjeti da je ovaj izraz:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a), (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Što je, kao što sam upravo rekao, jednako # (A-b) ^ 2 #, Zamijeniti # S # s # Secx # i # B # s # Tanx # i dobivate:

# S ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

I dovršili smo:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #