Bi li mi pomogao? int_0 ^ (pi / 2), (e ^ (2x) + sinx) dx

Odgovor:

# = (2e ^ (pi) + 1) / 5 #

Obrazloženje:

to zahtijeva integraciju dijelova kako slijedi. Ograničenja će biti izostavljena do samog kraja

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#COLOR (crvena) (I-intu (dv) / (dx) dx) = UV-intv (du) / (DV) dx #

# V = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#COLOR (crvena) (I) = - ^ e (2x) + cosx int2e ^ (2x) cosxdx #

drugi integralni dio također se radi po dijelovima

# V = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#COLOR (crvena) (I) = - ^ e (2x) + cosx 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#COLOR (crvena) (I) = - ^ e (2x) + cosx 2e ^ (2x) sinx-4color (crvena) (I) *

#:. 5I-e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

sada stavite granice u

#Ne = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) *

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) *

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) + 1) / 5 #

Odgovor:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Obrazloženje:

Iako je već pruženi odgovor savršen, samo sam htio istaknuti lakši način da dođemo do istog odgovora koristeći malo napredniji pristup - preko složenih brojeva.

Počinjemo s poznatim odnosom

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

gdje # I = sqrt {-1} #, i imajte na umu da to znači

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) implicira e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

gdje # Im # označava imaginarni dio.

Tako

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ i}) #

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} puta {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + tj ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) puta (-1) + e ^ pi puta 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #