Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Odgovor:

#(0.14414, 0.05271)# je lokalni maksimum

#(1.45035, 0.00119)# i #(-1.59449, -1947.21451)# su lokalni minimumi.

Obrazloženje:

#F (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# Dy / dx = x (3 x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3 x ^ 3-7x + 1) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

To se ne može smatrati lokalnim ekstremom.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Da bismo riješili za korijene ove kubične funkcije, koristimo Newton-Raphsonovu metodu:

#x_ (n + 1) = x_n-f (X_X) / (f (x_n)) *

To je iterativni proces koji će nas približiti i približiti korijenu funkcije. Ne uključujem ovdje dugotrajan proces, ali nakon što sam stigao do prvog korijena, možemo izvesti dugu podjelu i riješiti preostale kvadratne lako za druga dva korijena.

Dobit ćemo sljedeće korijene:

# x = 0,14414, 1,45035 i -1,59449 #

Sada izvodimo prvi derivativni test i isprobavamo vrijednosti lijevo i desno od svakog korijena da bismo vidjeli gdje je derivat pozitivan ili negativan.

To će nam reći koja je točka maksimalna, a koja minimalna.

Rezultat će biti sljedeći:

#(0.14414, 0.05271)# je lokalni maksimum

#(1.45035, 0.00119)# i #(-1.59449, -1947.21451)# su lokalni minimumi.

U donjem grafikonu možete vidjeti jedan od minimuma:

Sljedeći prikaz prikazuje maksimum i drugi minimum:

Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x ima lokalni minimum za x = 1 i lokalni maksimum za x = 3 Imamo: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x funkcija je definirana u cijelom RR kao x ^ 2 + 3> 0 AA x Možemo identificirati kritične točke pronalaskom gdje je prvi derivat jednak nuli: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 pa su kritične točke: x_1 = 1 i x_2 = 3 Budući da je nazivnik uvijek pozitivan, znak f '(x) je suprotan od znaka numerator (x ^ 2-4x + 3) Sada znamo da je polinom drugog reda s pozitivnim vodećim koeficijentom pozi

Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3?

Lokalni maksimum 80 (na x = -1) i lokalni minimum od -80 (pri x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) Kritični brojevi su: -1, 0 i 1 Znak f 'se mijenja iz + u - dok prolazimo x = -1, tako je f (-1) = 80 lokalni maksimum (Budući da je f neparan, možemo odmah zaključiti da je f (1) = - 80 relativni minimum, a f (0) nije lokalni ekstrem.) Znak f 'se ne mijenja kako prolazimo x = 0, tako da f (0) nije lokalni ekstrem: Znak f 'se mijenja iz - u + dok prolazimo x = 1, tako da je f (1) = -80 lokalni minimum.

Koji su lokalni ekstremi, ako ih ima, od f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Lokalni maksimum od 13 na 1 i lokalni minimum od 0 na 0. Domena f je RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 na x = -1 i f' (x) ne postoji u x = 0. Oba -1 i 9 su u domeni f, tako da su oba kritična broja. Prvi Derivativni Test: On (-oo, -1), f '(x)> 0 (na primjer na x = -2 ^ 15) On (-1,0), f' (x) <0 (na primjer x = -1 / 2 ^ 15) Stoga je f (-1) = 13 lokalni maksimum. Na (0, oo), f '(x)> 0 (koristite bilo koji veliki pozitivni x) Dakle f (0) = 0 je lokalni minimum.