Kako pronaći int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx korištenjem djelomičnih frakcija?

Odgovor:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Obrazloženje:

pustiti # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # biti = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Proširivši desnu stranu, dobivamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Izjednačavamo, dobivamo

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

odnosno #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

ili #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

ili # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

izjednačavajući koeficijent od x do 0 i izjednačavajući konstante, dobivamo

#A + B = 3 # i

# -2A + B = 0 #

Rješavanje za A & B, dobivamo

#A = 1 i B = 2 #

Zamjenjujući se u integraciji, dobivamo

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #