Kako sam to mogao dokazati? Bi li to koristilo teorem iz stvarne analize?

# "Upotrijebite definiciju izvedenice:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Ovdje imamo" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Moramo dokazati da" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"ili"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"ili"#

#h '(x_0) = 0 #

# "sa" h (x) = f (x) - g (x) #

#"ili"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"ili"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(zbog" f (x_0) = g (x_0) ")" # "#

#"Sada"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "ako" h> 0 "i" lim> = 0 "ako" h <0 #

# "Pretpostavili smo da su f i g različiti" #

# "tako", h (x) = f (x) - g (x) "također je različit, #

# "tako da lijevo ograničenje mora biti jednako desnoj granici, pa" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Odgovor:

Nudit ću brže rješenje od onoga na http://socratic.org/s/aQZyW77G. Za to ćemo se morati osloniti na neke poznate rezultate iz računice.

Obrazloženje:

Definirati #h (x) = f (x) -g (x) #

Od #f (x) le g (x) #, imamo #h (x) le 0 #

Na # X = x_0 #, imamo #f (x_0) = g (x_0) #, tako da #h (x_0) = 0 #

Tako # X = x_0 # je maksimalna funkcija diferencijacije # h (x) * u otvoreni interval # (A, b) #, Tako

#h ^ '(x_0) = 0 podrazumijeva #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) podrazumijeva #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #