Kako nalazite linearnu aproksimaciju korijena (4) (84)?

Odgovor:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Obrazloženje:

Zapamtite to #3^4 = 81#, koja je blizu #84#.

Tako #root (4) (84), # je malo veći od #3#.

Da bismo dobili bolju aproksimaciju, možemo upotrijebiti linearnu aproksimaciju, Newtonovu metodu.

Definirati:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Zatim:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

i dali približnu nulu # x = a # od #F (x) *, bolja aproksimacija je:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Dakle, u našem slučaju, stavljanje # A = 3 #, bolja aproksimacija je:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02 bara (7) #

To je gotovo točno #4# značajne brojke, ali citirajmo aproksimaciju kao #3.03#

Odgovor:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Obrazloženje:

Imajte na umu da je linearna aproksimacija blizu točke # S # može se dati putem:

#f (x) ~ ~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Ako je dano: #f (x) = root (4) (x) #

onda prikladan izbor za # S # bilo bi # A = 81 # jer znamo #root (4) 81 = 3 # točno i blizu #84#.

Tako:

#f (a) = f (81) = korijen (4) (81) = 3 #

Također;

#f (x) = x ^ (1/4) # tako #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Stoga možemo približiti (blizu #81#):

#F (x) ~~ f (a) + f '(a) (X-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Tako:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

Točnija je vrijednost #3.02740#

tako da je linearna aproksimacija prilično bliska.

Odgovor:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Obrazloženje:

Možemo reći da imamo funkciju #f (x) = root (4) (x) #

i # root (4) (84) = f (84) #

Nađimo sada derivat naše funkcije.

Koristimo pravilo moći koje navodi da #F (x) = x ^ n #, onda #F "(x) = nx ^ (n-1) # gdje # # N je konstanta.

#F (x) = x ^ (1/4) #

=>#F "(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#F "(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#F "(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#F '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Sada, približiti se # root (4) (84) #, pokušavamo pronaći savršenu četvrtu snagu najbližu 84

Da vidimo…

#1#

#16#

#81#

#256#

Vidimo to #81# je naš najbliži.

Sada nalazimo tangentu naše funkcije kada # X = 81 #

=>#F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) *

=>#F '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) + 81 ^ (1/4)) *

=>#F '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) *

=>#F '(81) = 1/108 #

Ovo je padina koju tražimo.

Pokušajmo napisati jednadžbu tangentne linije u obliku # Y = x + b #

Pa, što je # Y # jednako kad # X = 81 #?

Da vidimo…

#F (81) = korijen (4) (81) #

=>#F (81) = 3 #

Stoga sada imamo:

# 3-M81 + b # Znamo da je padina, # M #, je #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Sada možemo riješiti # B #.

=># 3 = 81/108 ± b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Dakle, jednadžba tangente je # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Sada koristimo 84 na mjestu #x#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Stoga, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #