Što je (3 + i) ^ (1/3) jednako u + bi obliku?

Odgovor:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Obrazloženje:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alfa)) # gdje #alpha = arctan (1/3) #

Tako

#root (3) (3 + i) = korijen (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Od # 3 i # + je u Q1, ovaj glavni kubni korijen od # 3 i # + također je u Q1.

Dvije druge korijene kocke # 3 i # + mogu se izraziti pomoću primitivnog korijenskog kompleksa kocke jedinstva #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (korijen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (korijen (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + korijen (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #