Broj načina na koji ispitivač može dodijeliti 30 maraka na 8 pitanja s najmanje 2 boda na bilo koje pitanje?

Odgovor:

#259459200#

Obrazloženje:

Ako ovo čitam ispravno, onda ako ispitivač može dodijeliti oznake samo u višekratnicima od 2. To bi značilo da postoji samo 15 izbora od 30 maraka. #30/2 = 15#

Tada imamo 15 izbora raspoređenih po 8 pitanja.

Koristeći formulu za permutacije:

# (n!) / ((n - r)!) #

Gdje # # N je broj objekata (u ovom slučaju oznake u skupinama od 2).

I # R # koliko ih se uzima u isto vrijeme (u ovom slučaju 8 pitanja)

Dakle, imamo:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Odgovor:

Tamo su # "" _ 21C_14 # (ili 116,280) načina.

Obrazloženje:

Počinjemo s 30 maraka u "banci" dajemo. Budući da sva pitanja moraju vrijediti najmanje 2 oznake, uzmemo # 2 xx 8 = 16 # oznake iz #30# i podijeliti ih jednako. Sada svako pitanje ima 2 (do sada) i "banka" je ostavio s #30-16=14# Oznake.

Sada samo trebamo pronaći broj načina da podijelimo preostalih 14 oznaka među 8 pitanja. Isprva se to može činiti vrlo teškim, ali postoji trik koji ga čini mnogo intuitivnijim.

Pojednostavimo stvari na trenutak. Što ako imamo samo 2 pitanja i 14 maraka koje ćemo podijeliti? Koliko smo načina mogli to učiniti? Pa, mogli bismo podijeliti oznake na 14 + 0, ili 13 + 1, ili 12 + 2, itd. … ili 1 + 13, ili 0 + 14. Drugim riječima, kada trebamo uvesti samo 1 razdiobu (između 2 pitanja), dobivamo 15 načina za to.

To je isto kao i pitanje: "Koliko jedinstvenih načina možemo organizirati 14 žutih klikera (oznaka) i 1 plavi mramor (razdjelnik pitanja) u nizu?" Odgovor na to se nalazi izračunavanjem broja permutacija svih 15 klikera (što je #15!#), a zatim podijeliti na broj načina prebaciti oba žuta klikera #(14!)# i plavi klikeri #(1!)#budući da unutar svakog aranžmana nije važno u kojem se redoslijedu pojavljuju identični klikeri.

Dakle, kada ima 14 žutih klikera (oznaka) i 1 plavi mramor (pitanje razdjelnik), postoje

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Otkazivanje (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 načina raspoređivanja klikera (podijelite oznake). Napomena: ovo je jednako # "" _ 15C_14 #.

Uvedimo još jedan plavi mramor - to jest, drugi dio, ili treće pitanje koje treba dati oznakama. Sada imamo ukupno 16 klikera, i želimo znati koliko ih možemo organizirati na jedinstven način. Slično kao i prije, uzimamo #16!# načinima raspoređivanja svih klikera, a zatim ih podijeliti na načine kako se permutiraju oba žuta #(14!)# i plave #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Otkazivanje (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Dakle, postoji 120 načina razdvajanja 14 oznaka između 3 pitanja. To je također jednako # "" _ 16C_14 #.

Do sada možete primijetiti kamo idemo. Broj lijevo od # C # jednako je broju znakova koje dijelimo (žuti klikeri) plus broj razdjelnika (plavi klikeri). Broj razdjelnika je uvijek jedan manje od broj pitanja. Broj desno od # C # ostaje broj oznaka.

Dakle, da bismo podijelili preostalih 14 oznaka među svih 8 pitanja (što zahtijeva 7 razdjelnika), izračunavamo

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#COLOR (bijela) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#COLOR (bijeli) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,28 tisuća" #

Dakle, postoji 116.280 načina za dodjelu 30 oznaka za 8 pitanja, pri čemu svako pitanje vrijedi najmanje 2 boda.