Odgovor:
To je točno jedan od korijena #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # gdje #T_n (x) * je # # NChebyshev Polinom prve vrste. To je jedan od četrdeset šest korijena:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Obrazloženje:
# 58 ^ circ # nije više od # 3 ^ circ #, Više od # 1 ^ circ # koje nisu višestruke od # 3 ^ circ # nisu konstruktivni s ravninom i kompasom, a njihove trigonometrijske funkcije nisu rezultat nekog sastava cijelih brojeva korištenjem zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i kvadratnog ukorjenjivanja.
To ne znači da ne možemo napisati neki izraz za #cos 58 ^ circ #, Uzmimo znak stupnja da znači faktor od # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i t
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i t
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Nije to od pomoći.
Možemo pokušati zapisati polinomnu jednadžbu čiji je korijen #cos 58 ^ circ # ali vjerojatno će biti prevelik da bi se uklopio.
# Theta = 2 ^ Circ # je #180#krug. Od #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # to znaci #cos 2 ^ circ # zadovoljava
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Riješimo ovo za # Teta # prvi. #cos x = cos a # ima korijene # x = pm a + 360 ^ circ, # broj # K #.
# 180 ^ circ -46 theta = 44 sati - 360 ^ cir k k #
# 46 theta, 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
# theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ ili theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
To je puno korijena, i vidimo # Theta = 58 ^ circ # među njima.
Polinomi #T_n (x) *, pod nazivom Chebyshev polinomi prve vrste, zadovoljiti #cos (n theta) = T_n (cos theta) #, Oni imaju cjelobrojne koeficijente. Prvih nekoliko poznajemo iz formula s dvostrukim i trostrukim kutom:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # tako# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # tako# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # tako # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # tako # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Postoji lijepa relacija rekurzije koju možemo potvrditi:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Dakle, u teoriji, možemo ih generirati za velike # # N kako nam je stalo.
Ako dopustimo # x = cos theta, # naša jednadžba
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
postaje
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha će nam rado reći što je to. Napisat ću jednadžbu samo kako bih testirao matematičko prikazivanje:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 ^ + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1)
Da, ovaj odgovor je dug, hvala Sokratima. Anway, jedan od korijena polinoma 46. stupnja s cjelobrojnim koeficijentima je # cos 58 ^ circ #.
