Kako nalazite volumen regije koju okružuju krivulje y = x ^ 2 - 1 i y = 0 rotiraju oko linije x = 5?

Odgovor:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ = 2dy pi (85 + 1/3) #

Obrazloženje:

Kako bismo izračunali ovaj volumen, u nekom smislu ćemo ga izrezati na (beskonačno tanke) kriške.

Zamislimo regiju, da nam pomogne u tome, priložio sam grafikon gdje je regija dio ispod krivulje. Primjećujemo to # Y = x ^ 2-1 # prelazi crtu # X = 5 # gdje # Y = 24 # i da prelazi crtu # Y = 0 # gdje # X = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Prilikom rezanja ovog područja u vodoravnim rezovima s visinom # Dy # (vrlo mala visina). Duljina tih presjeka uvelike ovisi o y koordinati. da bismo izračunali tu dužinu, moramo znati udaljenost od točke # (Y, x) * na liniji # Y = x ^ 2-1 # do točke (5, y). Naravno da jest # 5 x #, ali želimo znati kako to ovisi # Y #, Od # Y = x ^ 2-1 #, znamo # 2 x ^ y = 1 + #, jer imamo #x> 0 # za regiju u koju smo zainteresirani, # X = sqrt (y + 1) #dakle, ovisi o toj udaljenosti # Y #, što ćemo označiti kao #R (y) # daje se pomoću #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Sada rotiramo ovo područje # X = 5 #, to znači da svaki dio postaje cilindar s visinom # Dy # i radijus #R (y) #, dakle volumen #pir (y) ^ 2dy #, Sve što trebamo sada učiniti jest zbrojiti ove beskonačno male količine pomoću integracije. Primjećujemo to # Y # odlazi #0# do #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 24 = _0 ^ pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20 / + 24 3 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) *.