Što je rješenje diferencijalne jednadžbe dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Odgovor:

Opće rješenje je:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Obrazloženje:

Imamo:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Možemo prikupiti izraze za slične varijable:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Koja je odvojiva prva redovna ne-linearna diferencijalna jednadžba, tako da možemo "odvojite varijable" dobiti:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t d #

Oba integrala pripadaju standardnim funkcijama, tako da to znanje možemo koristiti za izravno integriranje:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

I spremno možemo preurediti # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Vodeći u Opće rješenje:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Odgovor:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Obrazloženje:

To je odvojiva diferencijalna jednadžba, što znači da se može napisati u obliku:

# Dy / dx * f (y) = g (x) *

Može se riješiti integriranjem obje strane:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

U našem slučaju, prvo moramo razdvojiti integralni dio u pravu formu. To možemo učiniti dijeljenjem obje strane # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2-e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) *

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2-e ^ t #

Sada možemo integrirati obje strane:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Možemo riješiti integralni lijevi dio s zamjenom # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 d = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + = C_2 e ^ t + C_1 #

Ponovna uspostava (i kombiniranje konstanti) daje:

# -1 / (y-1) = E ^ t + C_3 #

Pomnožite obje strane po # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Podijelite obje strane po # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #