Što je opće rješenje diferencijalne jednadžbe y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Karakteristična jednadžba je:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ILI" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disk quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "dakle imamo dva složena rješenja, oni su" # #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Dakle, opće rješenje homogene jednadžbe je:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Posebno rješenje za cjelovitu jednadžbu je" #

# "y = x," #

# "To je lako vidjeti." #

# "Dakle, cjelovito rješenje je:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Odgovor:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Obrazloženje:

Imamo:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Ili, alternativno:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Ovo je treći linearna nehomogena diferencijacija Jednadžba s konstantnim koeficijentima. Standardni pristup je pronaći rješenje, # Y_c # homogene jednadžbe promatrajući pomoćnu jednadžbu, koja je polinomna jednadžba s koeficijentima izvedenica, a zatim pronalazimo neovisno određeno rješenje, # Y_p # nehomogene jednadžbe.

Korijeni pomoćne jednadžbe određuju dijelove rješenja, koji ako su linearno neovisni, onda superpozicija rješenja formira potpuno opće rješenje.

• Pravi različiti korijeni # m = alfa, beta, … # će donijeti linearno neovisna rješenja forme # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Pravi ponovljeni korijeni # M = a #, će dati rješenje forme # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # gdje polinom ima isti stupanj kao i ponavljanje.
• Kompleksni korijeni (koji se moraju pojaviti kao konjugirani parovi) # M = p + -qi # će dati parove linearno neovisnih rješenja forme # Y = e ^ (px) (ACOS (qx) + Bsin (qx)) *

Posebno rješenje

Da bi se pronašlo određeno rješenje nehomogene jednadžbe:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t s #f (x) = 4 # ….. C

onda kao #F (x) * je polinom stupnja #0#, tražili bismo polinomno rješenje istog stupnja, tj. forme #y = a #

Međutim, takvo rješenje već postoji u otopini CF i stoga mora uzeti u obzir potencijalno rješenje forme # Y = ax #, Gdje su konstante # S # treba odrediti izravnom supstitucijom i usporedbom:

razlikovanje # Y = ax # wrt #x# dobivamo:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Zamjenjujući ove rezultate u DE A dobivamo:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

I tako stvaramo Posebno rješenje:

# y_p = x #

Opće rješenje

Koji zatim vodi do GS A

# y (x) = y_c + y_p #

# A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Imajte na umu da ovo rješenje ima #3# konstante integracije i #3# linearno neovisna rješenja, dakle teorem egzistencije i jedinstvenosti njihova superpozicija je opće rješenje