Koji je nagib linije normalne tangentne linije f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) pri x = (15pi) / 8?

Odgovor:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktivni graf

Obrazloženje:

Prvo što trebamo učiniti je izračunati #F "(x) * na #x = (15pi) / 8 #.

Učinimo ovaj pojam po terminu. Za # S ^ 2 (x) * Imajte na umu da imamo dvije funkcije ugrađene jedna u drugu: # X ^ 2 #, i #sec (x) *, Dakle, ovdje ćemo morati koristiti pravilo lanca:

# d / dx (sek (x)) ^ 2 = 2 s (x) * d / dx (sek (x)) #

#color (plava) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Za drugi rok trebamo koristiti pravilo o proizvodu. Tako:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = boja (crvena) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + boja (crvena) (d / dxcos (x-pi / 4)))(x)#

# boja (plava) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Možda se pitate zašto nismo koristili pravilo lanca za ovaj dio, jer imamo # (x - pi / 4) # unutar kosinusa. Odgovor smo implicitno učinili, ali to smo ignorirali. Primijetite kako je izveden od # (x - pi / 4) # je jednostavno 1? Stoga, umnožavanje toga ne mijenja ništa, pa ga ne ispisujemo u izračunima.

Sada sve stavljamo zajedno:

# d / dx (sek ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = boja (ljubičasta) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) *

Pazi na znakove.

Sada, moramo pronaći nagib linije tangenta na #F (x) * na #x = (15pi) / 8 #, Da bismo to učinili, jednostavno uključimo ovu vrijednost #F "(x) *:

#f '((15pi) / 8) = (2 sekunde ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = boja (ljubičasta) (~~ -6.79) #

Međutim, ono što želimo nije linija tangenta na f (x), nego na liniju normalan na to. Da bismo to postigli, uzmemo samo negativnu recipročnu vrijednost nagiba iznad.

#m_ (norma) = -1 / -15,78 boja (ljubičasta) (~~ 0,015) #

Sada sve uklapamo u oblik nagiba točke:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Pogledajte ovaj interaktivni grafikon kako biste vidjeli kako ovo izgleda!

Nadam se da je to pomoglo:)