Kako dokazati sek (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Odgovor:

Učinite nešto konjugirano množenje, iskoristite trigonometrije i pojednostavite. Pogledaj ispod.

Obrazloženje:

Sjetite se pitagorejskog identiteta # Grijeh ^ 2x + cos ^ 2 x = 1 #, Podijelite obje strane po # cos ^ 2 x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2 x) / cos ^ 2x = 1 / 2x cos ^ #

# -> ten ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #

Koristit ćemo ovaj važan identitet.

Usredotočimo se na ovaj izraz:

# Secx + 1 #

Napominjemo da je to jednako # (Secx + 1) / 1 #, Pomnožite vrh i dno # Secx-1 # (ova je tehnika poznata kao množenje konjugata):

# (Secx + 1) / 1 x (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec-1 ^ 2x) / (secx-1) #

Iz # Tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #, to vidimo # ^ Tan 2x = sec-1 ^ 2x #, Stoga, možemo zamijeniti brojnik s # Tan ^ 2x #:

# (Tan ^ 2 x) / (secx-1) #

Naš problem sada glasi:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Imamo zajednički nazivnik, tako da možemo dodati frakcije na lijevoj strani:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1 ^ tan 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Otkazivanje tangenata:

# (Otkazivanje (tamne ^ 2x) + 1 poništavanje (tan ^ 2 x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Ostavljajući nas s:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Od # Secx = 1 / cosx #, možemo to prepisati kao:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Dodavanjem razlomaka u nazivnik vidimo:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Korištenje imovine # 1 / (a / b) = a / b #, imamo:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

I to upotpunjuje dokaz.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2 x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (1-secx) + 1 ^ tan 2x) / (secx-1) #

# = (Sec ^ 2x-1 + 1 ^ tan 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((sec ^ tan-2x ^ 2 x)) / ((1-secx)) *

#COLOR (crveni) ("stavljanje", sec ^ 2x-ten ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#COLOR (crveni) ("stavljanje", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #